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Theorem cncph 22169
Description: The set of complex numbers is an inner product (pre-Hilbert) space. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cncph.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cncph  |-  U  e.  CPreHil
OLD

Proof of Theorem cncph
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncph.6 . 2  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
2 eqid 2388 . . . 4  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
32cnnv 22017 . . 3  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  NrmCVec
4 mulm1 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  y )  =  -u y )
54adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  y )  =  -u y )
65oveq2d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  (
-u 1  x.  y
) )  =  ( x  +  -u y
) )
7 negsub 9282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  -u y )  =  ( x  -  y ) )
86, 7eqtrd 2420 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  (
-u 1  x.  y
) )  =  ( x  -  y ) )
98fveq2d 5673 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  +  ( -u
1  x.  y ) ) )  =  ( abs `  ( x  -  y ) ) )
109oveq1d 6036 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
x  +  ( -u
1  x.  y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( x  -  y ) ) ^ 2 ) )
1110oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  +  ( -u 1  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
x  -  y ) ) ^ 2 ) ) )
12 sqabsadd 12015 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
x  +  y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) ) )
13 sqabssub 12016 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
x  -  y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) ) )
1412, 13oveq12d 6039 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  -  y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) ) ) )
15 abscl 12011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
1615recnd 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  CC )
1716sqcld 11449 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
18 abscl 12011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
1918recnd 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  y )  e.  CC )
2019sqcld 11449 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( abs `  y
) ^ 2 )  e.  CC )
21 addcl 9006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( abs `  y
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  e.  CC )
2217, 20, 21syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  e.  CC )
23 2cn 10003 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
24 cjcl 11838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  (
* `  y )  e.  CC )
25 mulcl 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( * `  y
)  e.  CC )  ->  ( x  x.  ( * `  y
) )  e.  CC )
2624, 25sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  (
* `  y )
)  e.  CC )
27 recl 11843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  x.  ( * `
 y ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( x  x.  ( * `  y
) ) )  e.  RR )
2827recnd 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  x.  ( * `
 y ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( x  x.  ( * `  y
) ) )  e.  CC )
2926, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( Re `  (
x  x.  ( * `
 y ) ) )  e.  CC )
30 mulcl 9008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( Re `  ( x  x.  ( * `  y ) ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
Re `  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) )  e.  CC )
3123, 29, 30sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
Re `  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) )  e.  CC )
3222, 31, 22ppncand 9384 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y
) ^ 2 ) ) ) )
3314, 32eqtrd 2420 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  -  y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
34 2times 10032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  ( 2  x.  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3534eqcomd 2393 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  ( ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3622, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3733, 36eqtrd 2420 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  -  y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3811, 37eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  +  ( -u 1  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3938rgen2a 2716 . . 3  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
x  +  ( -u
1  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) )
40 addex 10543 . . . 4  |-  +  e.  _V
41 mulex 10544 . . . 4  |-  x.  e.  _V
42 absf 12069 . . . . 5  |-  abs : CC
--> RR
43 cnex 9005 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
44 fex 5909 . . . . 5  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  CC  e.  _V )  ->  abs  e.  _V )
4542, 43, 44mp2an 654 . . . 4  |-  abs  e.  _V
46 cnaddablo 21787 . . . . . . 7  |-  +  e.  AbelOp
47 ablogrpo 21721 . . . . . . 7  |-  (  +  e.  AbelOp  ->  +  e.  GrpOp )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . 6  |-  +  e.  GrpOp
49 ax-addf 9003 . . . . . . 7  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
5049fdmi 5537 . . . . . 6  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
5148, 50grporn 21649 . . . . 5  |-  CC  =  ran  +
5251isphg 22167 . . . 4  |-  ( (  +  e.  _V  /\  x.  e.  _V  /\  abs  e.  _V )  ->  ( <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  CPreHil OLD  <->  (
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  (
( ( abs `  (
x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  +  (
-u 1  x.  y
) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
5340, 41, 45, 52mp3an 1279 . . 3  |-  ( <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  CPreHil OLD  <->  ( <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
x  +  ( -u
1  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
543, 39, 53mpbir2an 887 . 2  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  CPreHil
OLD
551, 54eqeltri 2458 1  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   _Vcvv 2900   <.cop 3761    X. cxp 4817   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    - cmin 9224   -ucneg 9225   2c2 9982   ^cexp 11310   *ccj 11829   Recre 11830   abscabs 11967   GrpOpcgr 21623   AbelOpcablo 21718   NrmCVeccnv 21912   CPreHil OLDccphlo 22162
This theorem is referenced by:  elimphu  22171  cnchl  22267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-grpo 21628  df-gid 21629  df-ablo 21719  df-vc 21874  df-nv 21920  df-ph 22163
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