MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncvc Unicode version

Theorem cncvc 21100
Description: The set of complex numbers is a complex vector space. The vector operation is  +, and the scalar product is  x.. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cncvc  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD

Proof of Theorem cncvc
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 20978 . 2  |-  +  e.  AbelOp
2 ax-addf 8784 . . 3  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
32fdmi 5332 . 2  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
4 ax-mulf 8785 . 2  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
5 mulid2 8804 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  x )  =  x )
6 adddi 8794 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
y  x.  ( x  +  z ) )  =  ( ( y  x.  x )  +  ( y  x.  z
) ) )
7 adddir 8798 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( y  +  z )  x.  x )  =  ( ( y  x.  x )  +  ( z  x.  x
) ) )
8 mulass 8793 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( y  x.  z
)  x.  x )  =  ( y  x.  ( z  x.  x
) ) )
9 eqid 2258 . 2  |-  <.  +  ,  x.  >.  =  <.  +  ,  x.  >.
101, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isvci 21099 1  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1621   <.cop 3617    X. cxp 4659   CCcc 8703    + caddc 8708    x. cmul 8710   CVec OLDcvc 21062
This theorem is referenced by:  cnnv  21206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-ltxr 8840  df-sub 9007  df-neg 9008  df-grpo 20819  df-ablo 20910  df-vc 21063
  Copyright terms: Public domain W3C validator