MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncvc Unicode version

Theorem cncvc 22023
Description: The set of complex numbers is a complex vector space. The vector operation is  +, and the scalar product is  x.. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cncvc  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD

Proof of Theorem cncvc
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 21899 . 2  |-  +  e.  AbelOp
2 ax-addf 9033 . . 3  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
32fdmi 5563 . 2  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
4 ax-mulf 9034 . 2  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
5 mulid2 9053 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  x )  =  x )
6 adddi 9043 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
y  x.  ( x  +  z ) )  =  ( ( y  x.  x )  +  ( y  x.  z
) ) )
7 adddir 9047 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( y  +  z )  x.  x )  =  ( ( y  x.  x )  +  ( z  x.  x
) ) )
8 mulass 9042 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( y  x.  z
)  x.  x )  =  ( y  x.  ( z  x.  x
) ) )
9 eqid 2412 . 2  |-  <.  +  ,  x.  >.  =  <.  +  ,  x.  >.
101, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isvci 22022 1  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721   <.cop 3785    X. cxp 4843   CCcc 8952    + caddc 8957    x. cmul 8959   CVec OLDcvc 21985
This theorem is referenced by:  cnnv  22129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-ltxr 9089  df-sub 9257  df-neg 9258  df-grpo 21740  df-ablo 21831  df-vc 21986
  Copyright terms: Public domain W3C validator