MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncvc Unicode version

Theorem cncvc 21141
Description: The set of complex numbers is a complex vector space. The vector operation is  +, and the scalar product is  x.. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cncvc  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD

Proof of Theorem cncvc
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 21019 . 2  |-  +  e.  AbelOp
2 ax-addf 8818 . . 3  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
32fdmi 5396 . 2  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
4 ax-mulf 8819 . 2  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
5 mulid2 8838 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  x )  =  x )
6 adddi 8828 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
y  x.  ( x  +  z ) )  =  ( ( y  x.  x )  +  ( y  x.  z
) ) )
7 adddir 8832 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( y  +  z )  x.  x )  =  ( ( y  x.  x )  +  ( z  x.  x
) ) )
8 mulass 8827 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( y  x.  z
)  x.  x )  =  ( y  x.  ( z  x.  x
) ) )
9 eqid 2285 . 2  |-  <.  +  ,  x.  >.  =  <.  +  ,  x.  >.
101, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isvci 21140 1  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1686   <.cop 3645    X. cxp 4689   CCcc 8737    + caddc 8742    x. cmul 8744   CVec OLDcvc 21103
This theorem is referenced by:  cnnv  21247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-ltxr 8874  df-sub 9041  df-neg 9042  df-grpo 20860  df-ablo 20951  df-vc 21104
  Copyright terms: Public domain W3C validator