Theorem cnegex 5502

Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex	|- (A e. CC -> E.x e. CC (A + x) = 0)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem cnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcnre 5440	. 2 |- (A e. CC -> E.a e. RR E.b e. RR A = (a + (i x. b)))
2		opreq1 4026	. . . . . 6 |- (A = (a + (i x. b)) -> (A + x) = ((a + (i x. b)) + x))
3	2	eqeq1d 1526	. . . . 5 |- (A = (a + (i x. b)) -> ((A + x) = 0 <-> ((a + (i x. b)) + x) = 0))
4	3	rexbidv 1710	. . . 4 |- (A = (a + (i x. b)) -> (E.x e. CC (A + x) = 0 <-> E.x e. CC ((a + (i x. b)) + x) = 0))
5		cnegexlem2 5500	. . . . 5 |- E.y e. RR (i x. y) e. RR
6		cnegexlem3 5501	. . . . . . . . 9 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> E.c e. RR (b + c) = y)
7	6	ad2ant2lr 410	. . . . . . . 8 |- (((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) -> E.c e. RR (b + c) = y)
8		readdcl 5456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((a e. RR /\ (i x. y) e. RR) -> (a + (i x. y)) e. RR)
9		axrnegex 5437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((a + (i x. y)) e. RR -> E.d e. RR ((a + (i x. y)) + d) = 0)
10	8, 9	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((a e. RR /\ (i x. y) e. RR) -> E.d e. RR ((a + (i x. y)) + d) = 0)
11	10	ad2ant2rl 411	. . . . . . . . . . . 12 |- (((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) -> E.d e. RR ((a + (i x. y)) + d) = 0)
12	11	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- ((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) -> E.d e. RR ((a + (i x. y)) + d) = 0)
13		opreq2 4027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = ((i x. c) + d) -> ((a + (i x. b)) + x) = ((a + (i x. b)) + ((i x. c) + d)))
14	13	eqeq1d 1526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = ((i x. c) + d) -> (((a + (i x. b)) + x) = 0 <-> ((a + (i x. b)) + ((i x. c) + d)) = 0))
15	14	rcla4ev 1923	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((i x. c) + d) e. CC /\ ((a + (i x. b)) + ((i x. c) + d)) = 0) -> E.x e. CC ((a + (i x. b)) + x) = 0)
16		addcl 5455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((i x. c) e. CC /\ d e. CC) -> ((i x. c) + d) e. CC)
17		recn 5467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (c e. RR -> c e. CC)
18		axicn 5424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- i e. CC
19		mulcl 5457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((i e. CC /\ c e. CC) -> (i x. c) e. CC)
20	18, 19	mpan 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (c e. CC -> (i x. c) e. CC)
21	17, 20	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (c e. RR -> (i x. c) e. CC)
22		recn 5467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (d e. RR -> d e. CC)
23	16, 21, 22	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((c e. RR /\ d e. RR) -> ((i x. c) + d) e. CC)
24	23	adantlr 393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((c e. RR /\ (b + c) = y) /\ d e. RR) -> ((i x. c) + d) e. CC)
25	24	adantll 392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) /\ d e. RR) -> ((i x. c) + d) e. CC)
26	25	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) /\ d e. RR) /\ ((a + (i x. y)) + d) = 0) -> ((i x. c) + d) e. CC)
27		addass 5461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((a + (i x. b)) e. CC /\ (i x. c) e. CC /\ d e. CC) -> (((a + (i x. b)) + (i x. c)) + d) = ((a + (i x. b)) + ((i x. c) + d)))
28		addcl 5455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((a e. CC /\ (i x. b) e. CC) -> (a + (i x. b)) e. CC)
29		mulcl 5457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((i e. CC /\ b e. CC) -> (i x. b) e. CC)
30	18, 29	mpan 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (b e. CC -> (i x. b) e. CC)
31	28, 30	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((a e. CC /\ b e. CC) -> (a + (i x. b)) e. CC)
32	31	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) /\ d e. CC) -> (a + (i x. b)) e. CC)
33	20	ad2antlr 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) /\ d e. CC) -> (i x. c) e. CC)
34		pm3.27 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) /\ d e. CC) -> d e. CC)
35	27, 32, 33, 34	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) /\ d e. CC) -> (((a + (i x. b)) + (i x. c)) + d) = ((a + (i x. b)) + ((i x. c) + d)))
36		addass 5461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((a e. CC /\ (i x. b) e. CC /\ (i x. c) e. CC) -> ((a + (i x. b)) + (i x. c)) = (a + ((i x. b) + (i x. c))))
37		simpll 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) -> a e. CC)
38	30	ad2antlr 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) -> (i x. b) e. CC)
39	20	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) -> (i x. c) e. CC)
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) -> ((a + (i x. b)) + (i x. c)) = (a + ((i x. b) + (i x. c))))
41		adddi 5463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((i e. CC /\ b e. CC /\ c e. CC) -> (i x. (b + c)) = ((i x. b) + (i x. c)))
42	18, 41	mp3an1 909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((b e. CC /\ c e. CC) -> (i x. (b + c)) = ((i x. b) + (i x. c)))
43	42	adantll 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) -> (i x. (b + c)) = ((i x. b) + (i x. c)))
44	43	opreq2d 4034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) -> (a + (i x. (b + c))) = (a + ((i x. b) + (i x. c))))
45	40, 44	eqtr4d 1553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) -> ((a + (i x. b)) + (i x. c)) = (a + (i x. (b + c))))
46	45	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) /\ d e. CC) -> ((a + (i x. b)) + (i x. c)) = (a + (i x. (b + c))))
47	46	opreq1d 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) /\ d e. CC) -> (((a + (i x. b)) + (i x. c)) + d) = ((a + (i x. (b + c))) + d))
48	35, 47	eqtr3d 1552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC) /\ d e. CC) -> ((a + (i x. b)) + ((i x. c) + d)) = ((a + (i x. (b + c))) + d))
49		recn 5467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (a e. RR -> a e. CC)
50		recn 5467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (b e. RR -> b e. CC)
51	49, 50	anim12i 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((a e. RR /\ b e. RR) -> (a e. CC /\ b e. CC))
52	51, 17	anim12i 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((a e. RR /\ b e. RR) /\ c e. RR) -> ((a e. CC /\ b e. CC) /\ c e. CC))
53	48, 52, 22	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((a e. RR /\ b e. RR) /\ c e. RR) /\ d e. RR) -> ((a + (i x. b)) + ((i x. c) + d)) = ((a + (i x. (b + c))) + d))
54	53	adantlrr 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) /\ d e. RR) -> ((a + (i x. b)) + ((i x. c) + d)) = ((a + (i x. (b + c))) + d))
55		opreq2 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((b + c) = y -> (i x. (b + c)) = (i x. y))
56	55	opreq2d 4034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((b + c) = y -> (a + (i x. (b + c))) = (a + (i x. y)))
57	56	opreq1d 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((b + c) = y -> ((a + (i x. (b + c))) + d) = ((a + (i x. y)) + d))
58	57	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((c e. RR /\ (b + c) = y) -> ((a + (i x. (b + c))) + d) = ((a + (i x. y)) + d))
59	58	ad2antlr 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) /\ d e. RR) -> ((a + (i x. (b + c))) + d) = ((a + (i x. y)) + d))
60	54, 59	eqtr2d 1551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) /\ d e. RR) -> ((a + (i x. y)) + d) = ((a + (i x. b)) + ((i x. c) + d)))
61	60	adantllr 397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) /\ d e. RR) -> ((a + (i x. y)) + d) = ((a + (i x. b)) + ((i x. c) + d)))
62	61	eqeq1d 1526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) /\ d e. RR) -> (((a + (i x. y)) + d) = 0 <-> ((a + (i x. b)) + ((i x. c) + d)) = 0))
63	62	biimpa 416	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) /\ d e. RR) /\ ((a + (i x. y)) + d) = 0) -> ((a + (i x. b)) + ((i x. c) + d)) = 0)
64	15, 26, 63	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) /\ d e. RR) /\ ((a + (i x. y)) + d) = 0) -> E.x e. CC ((a + (i x. b)) + x) = 0)
65	64	exp31 376	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) -> (d e. RR -> (((a + (i x. y)) + d) = 0 -> E.x e. CC ((a + (i x. b)) + x) = 0)))
66	65	r19.23adv 1792	. . . . . . . . . . 11 |- ((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) -> (E.d e. RR ((a + (i x. y)) + d) = 0 -> E.x e. CC ((a + (i x. b)) + x) = 0))
67	12, 66	mpd 26	. . . . . . . . . 10 |- ((((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) /\ (c e. RR /\ (b + c) = y)) -> E.x e. CC ((a + (i x. b)) + x) = 0)
68	67	exp32 377	. . . . . . . . 9 |- (((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) -> (c e. RR -> ((b + c) = y -> E.x e. CC ((a + (i x. b)) + x) = 0)))
69	68	r19.23adv 1792	. . . . . . . 8 |- (((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) -> (E.c e. RR (b + c) = y -> E.x e. CC ((a + (i x. b)) + x) = 0))
70	7, 69	mpd 26	. . . . . . 7 |- (((a e. RR /\ b e. RR) /\ (y e. RR /\ (i x. y) e. RR)) -> E.x e. CC ((a + (i x. b)) + x) = 0)
71	70	exp32 377	. . . . . 6 |- ((a e. RR /\ b e. RR) -> (y e. RR -> ((i x. y) e. RR -> E.x e. CC ((a + (i x. b)) + x) = 0)))
72	71	r19.23adv 1792	. . . . 5 |- ((a e. RR /\ b e. RR) -> (E.y e. RR (i x. y) e. RR -> E.x e. CC ((a + (i x. b)) + x) = 0))
73	5, 72	mpi 44	. . . 4 |- ((a e. RR /\ b e. RR) -> E.x e. CC ((a + (i x. b)) + x) = 0)
74	4, 73	syl5cbir 209	. . 3 |- ((a e. RR /\ b e. RR) -> (A = (a + (i x. b)) -> E.x e. CC (A + x) = 0))
75	74	r19.23aivv 1794	. 2 |- (E.a e. RR E.b e. RR A = (a + (i x. b)) -> E.x e. CC (A + x) = 0)
76	1, 75	syl 10	1 |- (A e. CC -> E.x e. CC (A + x) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wrex 1692  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388  ici 5390   + caddc 5391   x. cmul 5393

This theorem is referenced by:  cnegexi 5503  0cnALT 5504

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400

Copyright terms: Public domain