Theorem cnegextlem2 5329

Description: Lemma for cnegext 5331.

Assertion

Ref	Expression
cnegextlem2	|- E.y e. RR (i x. y) e. RR

Proof of Theorem cnegextlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 5311	. . 3 |- 0 e. CC
2		axcnre 5269	. . 3 |- (0 e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y)))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y))
4		axrnegex 5266	. . . . . 6 |- (x e. RR -> E.z e. RR (x + z) = 0)
5	4	adantr 389	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> E.z e. RR (x + z) = 0)
6		addid2t 5312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. CC -> (0 + z) = z)
7	6	3ad2ant3 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) -> (0 + z) = z)
8	7	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> (0 + z) = z)
9		opreq1 3963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x + z) = 0 -> ((x + z) + (i x. y)) = (0 + (i x. y)))
10	9	ad2antrl 406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> ((x + z) + (i x. y)) = (0 + (i x. y)))
11		add23t 5320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. CC /\ z e. CC /\ (i x. y) e. CC) -> ((x + z) + (i x. y)) = ((x + (i x. y)) + z))
12	11	3com23 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) -> ((x + z) + (i x. y)) = ((x + (i x. y)) + z))
13		opreq1 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (0 = (x + (i x. y)) -> (0 + z) = ((x + (i x. y)) + z))
14	13	eqcomd 1478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (0 = (x + (i x. y)) -> ((x + (i x. y)) + z) = (0 + z))
15	12, 14	sylan9eq 1525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ 0 = (x + (i x. y))) -> ((x + z) + (i x. y)) = (0 + z))
16	15	adantrl 394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> ((x + z) + (i x. y)) = (0 + z))
17		addid2t 5312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((i x. y) e. CC -> (0 + (i x. y)) = (i x. y))
18	17	3ad2ant2 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) -> (0 + (i x. y)) = (i x. y))
19	18	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> (0 + (i x. y)) = (i x. y))
20	10, 16, 19	3eqtr3d 1513	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> (0 + z) = (i x. y))
21	8, 20	eqtr3d 1507	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> z = (i x. y))
22	21	ex 373	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) -> (((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y))) -> z = (i x. y)))
23		recnt 5296	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> x e. CC)
24		recnt 5296	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. RR -> y e. CC)
25		axicn 5253	. . . . . . . . . . . . 13 |- i e. CC
26		axmulcl 5256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((i e. CC /\ y e. CC) -> (i x. y) e. CC)
27	25, 26	mpan 694	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. CC -> (i x. y) e. CC)
28	24, 27	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. RR -> (i x. y) e. CC)
29		recnt 5296	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. RR -> z e. CC)
30	22, 23, 28, 29	syl3an 867	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR) -> (((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y))) -> z = (i x. y)))
31	30	3expa 832	. . . . . . . . 9 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) -> (((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y))) -> z = (i x. y)))
32	31	imp 350	. . . . . . . 8 |- ((((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> z = (i x. y))
33		simplr 413	. . . . . . . 8 |- ((((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> z e. RR)
34	32, 33	eqeltrrd 1547	. . . . . . 7 |- ((((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> (i x. y) e. RR)
35	34	exp32 377	. . . . . 6 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) -> ((x + z) = 0 -> (0 = (x + (i x. y)) -> (i x. y) e. RR)))
36	35	r19.23adva 1745	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (E.z e. RR (x + z) = 0 -> (0 = (x + (i x. y)) -> (i x. y) e. RR)))
37	5, 36	mpd 26	. . . 4 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (0 = (x + (i x. y)) -> (i x. y) e. RR))
38	37	r19.22dva 1737	. . 3 |- (x e. RR -> (E.y e. RR 0 = (x + (i x. y)) -> E.y e. RR (i x. y) e. RR))
39	38	r19.23aiv 1741	. 2 |- (E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y)) -> E.y e. RR (i x. y) e. RR)
40	3, 39	ax-mp 7	1 |- E.y e. RR (i x. y) e. RR

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  E.wrex 1644  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  ici 5219   + caddc 5220   x. cmul 5222

This theorem is referenced by:  cnegext 5331

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229

Copyright terms: Public domain