Theorem cnegextlem3 5359

Description: Lemma for cnegext 5360.

Assertion

Ref	Expression
cnegextlem3	|- ((b e. RR /\ y e. RR) -> E.c e. RR (b + c) = y)

Distinct variable group:   b,c,y

Proof of Theorem cnegextlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axrnegex 5295	. . 3 |- (y e. RR -> E.x e. RR (y + x) = 0)
2	1	adantl 390	. 2 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> E.x e. RR (y + x) = 0)
3		axaddrcl 5284	. . . . . . . 8 |- ((b e. RR /\ x e. RR) -> (b + x) e. RR)
4		axrnegex 5295	. . . . . . . 8 |- ((b + x) e. RR -> E.c e. RR ((b + x) + c) = 0)
5	3, 4	syl 10	. . . . . . 7 |- ((b e. RR /\ x e. RR) -> E.c e. RR ((b + x) + c) = 0)
6	5	adantlr 395	. . . . . 6 |- (((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) -> E.c e. RR ((b + x) + c) = 0)
7	6	adantr 391	. . . . 5 |- ((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> E.c e. RR ((b + x) + c) = 0)
8		add23t 5349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((b e. CC /\ x e. CC /\ c e. CC) -> ((b + x) + c) = ((b + c) + x))
9	8	3expa 835	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((b e. CC /\ x e. CC) /\ c e. CC) -> ((b + x) + c) = ((b + c) + x))
10		axaddcom 5287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((b + c) e. CC /\ x e. CC) -> ((b + c) + x) = (x + (b + c)))
11		axaddcl 5283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((b e. CC /\ c e. CC) -> (b + c) e. CC)
12	10, 11	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((b e. CC /\ c e. CC) /\ x e. CC) -> ((b + c) + x) = (x + (b + c)))
13	12	an1rs 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((b e. CC /\ x e. CC) /\ c e. CC) -> ((b + c) + x) = (x + (b + c)))
14	9, 13	eqtr2d 1511	. . . . . . . . . . . 12 |- (((b e. CC /\ x e. CC) /\ c e. CC) -> (x + (b + c)) = ((b + x) + c))
15		recnt 5325	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> x e. CC)
16	14, 15	sylanl2 463	. . . . . . . . . . 11 |- (((b e. CC /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> (x + (b + c)) = ((b + x) + c))
17	16	adantllr 399	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> (x + (b + c)) = ((b + x) + c))
18	17	adantlr 395	. . . . . . . . 9 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> (x + (b + c)) = ((b + x) + c))
19		axaddcom 5287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + y) = (y + x))
20	19	ancoms 438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> (x + y) = (y + x))
21	20, 15	sylan2 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CC /\ x e. RR) -> (x + y) = (y + x))
22		id 59	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y + x) = 0 -> (y + x) = 0)
23	21, 22	sylan9eq 1530	. . . . . . . . . . 11 |- (((y e. CC /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> (x + y) = 0)
24	23	adantlll 398	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> (x + y) = 0)
25	24	adantr 391	. . . . . . . . 9 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> (x + y) = 0)
26	18, 25	eqeq12d 1492	. . . . . . . 8 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> ((x + (b + c)) = (x + y) <-> ((b + x) + c) = 0))
27		cnegextlem1 5357	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ (b + c) e. CC /\ y e. CC) -> ((x + (b + c)) = (x + y) <-> (b + c) = y))
28		simplr 415	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> x e. RR)
29	11	adantlr 395	. . . . . . . . . . 11 |- (((b e. CC /\ y e. CC) /\ c e. CC) -> (b + c) e. CC)
30	29	adantlr 395	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> (b + c) e. CC)
31		simplr 415	. . . . . . . . . . 11 |- (((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) -> y e. CC)
32	31	adantr 391	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> y e. CC)
33	27, 28, 30, 32	syl3anc 860	. . . . . . . . 9 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> ((x + (b + c)) = (x + y) <-> (b + c) = y))
34	33	adantlr 395	. . . . . . . 8 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> ((x + (b + c)) = (x + y) <-> (b + c) = y))
35	26, 34	bitr3d 532	. . . . . . 7 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> (((b + x) + c) = 0 <-> (b + c) = y))
36		recnt 5325	. . . . . . . . . 10 |- (b e. RR -> b e. CC)
37		recnt 5325	. . . . . . . . . 10 |- (y e. RR -> y e. CC)
38	36, 37	anim12i 333	. . . . . . . . 9 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> (b e. CC /\ y e. CC))
39	38	anim1i 334	. . . . . . . 8 |- (((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) -> ((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR))
40	39	anim1i 334	. . . . . . 7 |- ((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> (((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0))
41		recnt 5325	. . . . . . 7 |- (c e. RR -> c e. CC)
42	35, 40, 41	syl2an 456	. . . . . 6 |- (((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. RR) -> (((b + x) + c) = 0 <-> (b + c) = y))
43	42	rexbidva 1663	. . . . 5 |- ((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> (E.c e. RR ((b + x) + c) = 0 <-> E.c e. RR (b + c) = y))
44	7, 43	mpbid 195	. . . 4 |- ((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> E.c e. RR (b + c) = y)
45	44	ex 373	. . 3 |- (((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) -> ((y + x) = 0 -> E.c e. RR (b + c) = y))
46	45	r19.23adva 1750	. 2 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> (E.x e. RR (y + x) = 0 -> E.c e. RR (b + c) = y))
47	2, 46	mpd 26	1 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> E.c e. RR (b + c) = y)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249

This theorem is referenced by:  cnegext 5360

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258

Copyright terms: Public domain