Theorem cnf 7741

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	|- X = U.J
iscnp2.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cnf	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> F:X-->Y)

Proof of Theorem cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 |- X = U.J
2		iscnp2.2	. . . 4 |- Y = U.K
3	1, 2	iscn 7737	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)))
4	3	pm3.26bda 420	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Cn K)) -> F:X-->Y)
5	4	3impa 827	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> F:X-->Y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  U.cuni 2500  `'ccnv 3166  "cima 3170  -->wf 3175  (class class class)co 3960  Topctop 7567   Cn ccn 7731

This theorem is referenced by:  cnco 7747  cncnp2 7758  dnsconst 7767  metcnf 7867  metcn 7872

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-map 4321  df-cn 7733

Copyright terms: Public domain