Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom2 Unicode version

Theorem cnfcom2 7405
 Description: Any nonzero ordinal is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s CNF
cnfcom.a
cnfcom.b
cnfcom.f CNF
cnfcom.g OrdIso
cnfcom.h seq𝜔
cnfcom.t seq𝜔
cnfcom.m
cnfcom.k
cnfcom.w
cnfcom2.1
Assertion
Ref Expression
cnfcom2
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,)   (,,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem cnfcom2
StepHypRef Expression
1 cnfcom.s . . . . 5 CNF
2 cnfcom.a . . . . 5
3 cnfcom.b . . . . 5
4 cnfcom.f . . . . 5 CNF
5 cnfcom.g . . . . 5 OrdIso
6 cnfcom.h . . . . 5 seq𝜔
7 cnfcom.t . . . . 5 seq𝜔
8 cnfcom.m . . . . 5
9 cnfcom.k . . . . 5
10 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12 CNF
114, 10eqeltri 2353 . . . . . . . . . . 11
1211cnvex 5209 . . . . . . . . . 10
13 imaexg 5026 . . . . . . . . . 10
145oion 7251 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14mp2b 9 . . . . . . . . 9
1615elexi 2797 . . . . . . . 8
1716uniex 4516 . . . . . . 7
1817sucid 4471 . . . . . 6
19 cnfcom.w . . . . . . 7
20 cnfcom2.1 . . . . . . 7
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 20cnfcom2lem 7404 . . . . . 6
2218, 21syl5eleqr 2370 . . . . 5
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22cnfcom 7403 . . . 4
2419oveq2i 5869 . . . . . 6
2519fveq2i 5528 . . . . . 6
2624, 25oveq12i 5870 . . . . 5
27 f1oeq3 5465 . . . . 5
2826, 27ax-mp 8 . . . 4
2923, 28sylibr 203 . . 3
3021fveq2d 5529 . . . 4
31 f1oeq1 5463 . . . 4
3230, 31syl 15 . . 3
3329, 32mpbird 223 . 2
344fveq2i 5528 . . . . 5 CNF CNF CNF
35 omelon 7347 . . . . . . 7
3635a1i 10 . . . . . 6
371, 36, 2cantnff1o 7398 . . . . . . . . 9 CNF
38 f1ocnv 5485 . . . . . . . . 9 CNF CNF
39 f1of 5472 . . . . . . . . 9 CNF CNF
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8 CNF
41 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8 CNF CNF
4240, 3, 41syl2anc 642 . . . . . . 7 CNF
434, 42syl5eqel 2367 . . . . . 6
448oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10
4544a1i 10 . . . . . . . . 9
4645mpt2eq3ia 5913 . . . . . . . 8
47 eqid 2283 . . . . . . . 8
48 seqomeq12 6466 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
4946, 47, 48mp2an 653 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
506, 49eqtri 2303 . . . . . 6 seq𝜔
511, 36, 2, 5, 43, 50cantnfval 7369 . . . . 5 CNF
5234, 51syl5reqr 2330 . . . 4 CNF CNF
5321fveq2d 5529 . . . 4
54 f1ocnvfv2 5793 . . . . 5 CNF CNF CNF
5537, 3, 54syl2anc 642 . . . 4 CNF CNF
5652, 53, 553eqtr3d 2323 . . 3
57 f1oeq2 5464 . . 3
5856, 57syl 15 . 2
5933, 58mpbid 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   cdif 3149   cun 3150  c0 3455  cuni 3827   cmpt 4077   cep 4303  con0 4392   csuc 4394  com 4656  ccnv 4688   cdm 4689  cima 4692  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  seq𝜔cseqom 6459  c1o 6472   coa 6476   comu 6477   coe 6478  OrdIsocoi 7224   CNF ccnf 7362 This theorem is referenced by:  cnfcom3  7407 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-cnf 7363
 Copyright terms: Public domain W3C validator