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Theorem cnfcom3lem 7406
Description: Lemma for cnfcom3 7407. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lem  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    x, M    f, k, x, z, F   
z, T    x, W    f, G, k, x, z   
f, H, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom.w . . 3  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
2 cnfcom.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnvimass 5033 . . . . . 6  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
4 cnfcom.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
6 omelon 7347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  e.  On
76a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
85, 7, 2cantnff1o 7398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
9 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
10 f1of 5472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
12 cnfcom.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
13 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  S
)
1411, 12, 13syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
154, 14syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
165, 7, 2cantnfs 7367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
1715, 16mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1817simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
19 fdm 5393 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
2018, 19syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
213, 20syl5sseq 3226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
22 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  _V
234, 22eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e. 
_V
2423cnvex 5209 . . . . . . . . . . 11  |-  `' F  e.  _V
25 imaexg 5026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V )
26 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2726oion 7251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2824, 25, 27mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  dom  G  e.  On
2928elexi 2797 . . . . . . . . 9  |-  dom  G  e.  _V
3029uniex 4516 . . . . . . . 8  |-  U. dom  G  e.  _V
3130sucid 4471 . . . . . . 7  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
32 cnfcom.h . . . . . . . 8  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
33 cnfcom.t . . . . . . . 8  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
34 cnfcom.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
35 cnfcom.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
36 cnfcom3.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
37 peano1 4675 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  om
3837a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3936, 38sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
405, 2, 12, 4, 26, 32, 33, 34, 35, 1, 39cnfcom2lem 7404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
4131, 40syl5eleqr 2370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
4226oif 7245 . . . . . . 7  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
4342ffvelrni 5664 . . . . . 6  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4441, 43syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4521, 44sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  A
)
46 onelon 4417 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  U. dom  G )  e.  A )  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
472, 45, 46syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
481, 47syl5eqel 2367 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
49 oecl 6536 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
506, 2, 49sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
51 onelon 4417 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  A
)  e.  On  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  B  e.  On )
5250, 12, 51syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
53 ontri1 4426 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
546, 52, 53sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
5536, 54mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  om )
564fveq2i 5528 . . . . . . . 8  |-  ( ( om CNF  A ) `  F )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
) )
57 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
)  =  B )
588, 12, 57syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  ( `' ( om CNF  A ) `  B ) )  =  B )
5956, 58syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  F )  =  B )
6059adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  =  B )
616a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  om  e.  On )
622adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  A  e.  On )
6315adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  F  e.  S )
6437a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  (/)  e.  om )
65 1on 6486 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  On
6665a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  1o  e.  On )
67 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A  /\  A  e.  On )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  _V )
6821, 2, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
695, 7, 2, 26, 15cantnfcl 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
7069simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
7126oiiso 7252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
7268, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
7372ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
74 isof1o 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
76 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  ->  `' G :
( `' F "
( _V  \  1o ) ) -1-1-onto-> dom  G )
77 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) -1-1-onto-> dom 
G  ->  `' G : ( `' F " ( _V  \  1o ) ) --> dom  G
)
7875, 76, 773syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  G )
79 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  G  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  dom  G )
8078, 79sylancom 648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  dom  G )
81 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  x )  e.  dom  G  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
83 onelon 4417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  G  e.  On  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G )  ->  ( `' G `  x )  e.  On )
8428, 80, 83sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  On )
85 onuni 4584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
G  e.  On  ->  U.
dom  G  e.  On )
8628, 85ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. dom  G  e.  On
87 ontri1 4426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' G `  x )  e.  On  /\ 
U. dom  G  e.  On )  ->  ( ( `' G `  x ) 
C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8884, 86, 87sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( ( `' G `  x )  C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8982, 88mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
9041ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  U. dom  G  e.  dom  G )
91 isorel 5823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  /\  ( U. dom  G  e.  dom  G  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G ) )  ->  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <-> 
( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x )
) ) )
9273, 90, 80, 91syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
93 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' G `  x )  e.  _V
9493epelc 4307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
951breq1i 4030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
96 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G `
 ( `' G `  x ) )  e. 
_V
9796epelc 4307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x )
) )
9895, 97bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `
 ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
9992, 94, 983bitr3g 278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
100 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  W  =  (/) )
101 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  x  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
10275, 101sylancom 648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
103100, 102eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  (/)  e.  x ) )
10499, 103bitrd 244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  (/)  e.  x
) )
10589, 104mtbid 291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  -.  (/)  e.  x )
106 onss 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
1072, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  On )
10821, 107sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  On )
109108adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  C_  On )
110109sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  e.  On )
111 on0eqel 4510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  =  (/)  \/  (/)  e.  x
) )
112110, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( x  =  (/)  \/  (/)  e.  x ) )
113112ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( -.  x  =  (/)  ->  (/)  e.  x ) )
114105, 113mt3d 117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  =  (/) )
115 el1o 6498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  1o  <->  x  =  (/) )
116114, 115sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  e.  1o )
117116ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  ->  x  e.  1o ) )
118117ssrdv 3185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  C_  1o )
1195, 61, 62, 63, 64, 66, 118cantnflt2 7374 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  ( om 
^o  1o ) )
120 oe1 6542 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
1216, 120ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  1o )  =  om
122119, 121syl6eleq 2373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  om )
12360, 122eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  B  e.  om )
124123ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  ->  B  e.  om )
)
125124necon3bd 2483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  B  e. 
om  ->  W  =/=  (/) ) )
12655, 125mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
127 dif1o 6499 . 2  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  W  =/=  (/) ) )
12848, 126, 127sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _E cep 4303    We wwe 4351   Oncon0 4392   suc csuc 4394   omcom 4656   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    Isom wiso 5256  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860  seq𝜔cseqom 6459   1oc1o 6472    +o coa 6476    .o comu 6477    ^o coe 6478   Fincfn 6863  OrdIsocoi 7224   CNF ccnf 7362
This theorem is referenced by:  cnfcom3  7407  cnfcom3clem  7408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-cnf 7363
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