Theorem cnfval 7735

Description: The set of all continuous functions from topology J to topology K.

Hypotheses

Ref	Expression
cnfval.1	|- X = U.J
cnfval.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cnfval	|- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J Cn K) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})

Distinct variable groups:   y,f,J   f,K,y   f,X,y   f,Y,y

Proof of Theorem cnfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3980	. . 3 |- (Y ^m X) e. V
2	1	rabex 2722	. 2 |- {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J} e. V
3		unieq 2507	. . . . . 6 |- (j = J -> U.j = U.J)
4		cnfval.1	. . . . . 6 |- X = U.J
5	3, 4	syl6eqr 1524	. . . . 5 |- (j = J -> U.j = X)
6	5	opreq2d 3973	. . . 4 |- (j = J -> (U.k ^m U.j) = (U.k ^m X))
7		rabeq 1807	. . . 4 |- ((U.k ^m U.j) = (U.k ^m X) -> {f e. (U.k ^m U.j) | A.y e. k (`'f"y) e. j} = {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. j})
8	6, 7	syl 10	. . 3 |- (j = J -> {f e. (U.k ^m U.j) | A.y e. k (`'f"y) e. j} = {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. j})
9		eleq2 1534	. . . . 5 |- (j = J -> ((`'f"y) e. j <-> (`'f"y) e. J))
10	9	ralbidv 1662	. . . 4 |- (j = J -> (A.y e. k (`'f"y) e. j <-> A.y e. k (`'f"y) e. J))
11	10	rabbisdv 1805	. . 3 |- (j = J -> {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. j} = {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J})
12	8, 11	eqtrd 1506	. 2 |- (j = J -> {f e. (U.k ^m U.j) | A.y e. k (`'f"y) e. j} = {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J})
13		unieq 2507	. . . . . 6 |- (k = K -> U.k = U.K)
14		cnfval.2	. . . . . 6 |- Y = U.K
15	13, 14	syl6eqr 1524	. . . . 5 |- (k = K -> U.k = Y)
16	15	opreq1d 3972	. . . 4 |- (k = K -> (U.k ^m X) = (Y ^m X))
17		rabeq 1807	. . . 4 |- ((U.k ^m X) = (Y ^m X) -> {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J})
18	16, 17	syl 10	. . 3 |- (k = K -> {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J})
19		raleq1 1785	. . . 4 |- (k = K -> (A.y e. k (`'f"y) e. J <-> A.y e. K (`'f"y) e. J))
20	19	rabbisdv 1805	. . 3 |- (k = K -> {f e. (Y ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})
21	18, 20	eqtrd 1506	. 2 |- (k = K -> {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})
22		df-cn 7733	. 2 |- Cn = {<.<.j, k>., z>. | ((j e. Top /\ k e. Top) /\ z = {f e. (U.k ^m U.j) | A.y e. k (`'f"y) e. j})}
23	2, 12, 21, 22	oprabval2 4025	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J Cn K) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  {crab 1647  U.cuni 2500  `'ccnv 3166  "cima 3170  (class class class)co 3960   ^m cm 4319  Topctop 7567   Cn ccn 7731

This theorem is referenced by:  iscn 7737

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-cn 7733

Copyright terms: Public domain