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Theorem cnheibor 18980
Description: Heine-Borel theorem for complex numbers. A subset of  CC is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnheibor.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cnheibor.3  |-  T  =  ( Jt  X )
Assertion
Ref Expression
cnheibor  |-  ( X 
C_  CC  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
) )
Distinct variable groups:    x, r, T    J, r, x    X, r, x

Proof of Theorem cnheibor
Dummy variables  f 
s  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnheibor.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldhaus 18819 . . . . 5  |-  J  e. 
Haus
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  J  e.  Haus )
4 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  C_  CC )
5 cnheibor.3 . . . . 5  |-  T  =  ( Jt  X )
6 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  T  e.  Comp )
75, 6syl5eqelr 2521 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  ( Jt  X )  e.  Comp )
81cnfldtopon 18817 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
98toponunii 16997 . . . . 5  |-  CC  =  U. J
109hauscmp 17470 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  X  C_  CC  /\  ( Jt  X )  e.  Comp )  ->  X  e.  ( Clsd `  J ) )
113, 4, 7, 10syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
121cnfldtop 18818 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e. 
Top
139restuni 17226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  CC )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
1412, 4, 13sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
155unieqi 4025 . . . . . . . . . 10  |-  U. T  =  U. ( Jt  X )
1614, 15syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  =  U. T )
1716eleq2d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. T ) )
1817biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  U. T
)  ->  x  e.  X )
1912a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  J  e.  Top )
20 cnex 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
21 ssexg 4349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
224, 20, 21sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  e.  _V )
2322adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  X  e.  _V )
24 cnxmet 18807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
26 0cn 9084 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  0  e.  CC )
284sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  CC )
2928abscld 12238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
30 peano2re 9239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR )
3231rexrd 9134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR* )
331cnfldtopn 18816 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
3433blopn 18530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  e.  J )
3525, 27, 32, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  e.  J )
36 elrestr 13656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  e.  _V  /\  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  e.  J )  ->  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  ( Jt  X ) )
3719, 23, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  ( Jt  X ) )
3837, 5syl6eleqr 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  T )
39 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
4039cnmetdval 18805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( 0  -  x
) ) )
4126, 40mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  (
0  -  x ) ) )
42 df-neg 9294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u x  =  ( 0  -  x )
4342fveq2i 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  -u x )  =  ( abs `  (
0  -  x ) )
44 absneg 12082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  -u x )  =  ( abs `  x
) )
4543, 44syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  x ) )  =  ( abs `  x
) )
4641, 45eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  x
) )
4728, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  x
) )
4829ltp1d 9941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs `  x )  <  (
( abs `  x
)  +  1 ) )
4947, 48eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( ( abs `  x
)  +  1 ) )
50 elbl 18418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( ( abs `  x
)  +  1 ) ) ) )
5125, 27, 32, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) ) )
5228, 49, 51mpbir2and 889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
53 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
54 elin 3530 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  <-> 
( x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  /\  x  e.  X ) )
5552, 53, 54sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) )
5628absge0d 12246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
5729, 56ge0p1rpd 10674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
58 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )
59 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) ) )
6059ineq1d 3541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
)  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) )
6160eqeq2d 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  i^i  X )  <-> 
( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) ) )
6261rspcev 3052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR+  /\  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) )
6357, 58, 62sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  E. r  e.  RR+  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) )
64 eleq2 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  i^i  X ) ) )
65 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  i^i  X )  <-> 
( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )
6665rexbidv 2726 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X )  <->  E. r  e.  RR+  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )
6764, 66anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  i^i  X ) )  <->  ( x  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  /\  E. r  e.  RR+  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) ) )
6867rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  T  /\  (
x  e.  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  /\  E. r  e.  RR+  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )  ->  E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )
6938, 55, 63, 68syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X ) ) )
7018, 69syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  U. T
)  ->  E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X ) ) )
7170ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  A. x  e.  U. T E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X ) ) )
72 eqid 2436 . . . . . 6  |-  U. T  =  U. T
73 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( f `  u )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) ) )
7473ineq1d 3541 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( f `  u )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) )
7574eqeq2d 2447 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( f `  u )  ->  (
u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
)  <->  u  =  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `
 u ) )  i^i  X ) ) )
7672, 75cmpcovf 17454 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Comp  /\  A. x  e.  U. T E. u  e.  T  (
x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
( U. T  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) ) )
776, 71, 76syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  E. s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) ( U. T  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) ) )
78 inss2 3562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P T  i^i  Fin )  C_ 
Fin
79 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)
8078, 79sseldi 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
s  e.  Fin )
81 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : s --> RR+  /\  u  e.  s )  ->  ( f `  u )  e.  RR+ )
8281rpred 10648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : s --> RR+  /\  u  e.  s )  ->  ( f `  u )  e.  RR )
8382ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : s --> RR+  ->  A. u  e.  s  ( f `  u )  e.  RR )
8483ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  A. u  e.  s 
( f `  u
)  e.  RR )
85 fimaxre3 9957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r )
8680, 84, 85syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r )
8716ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  X  =  U. T )
88 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  U. T  = 
U. s )
8987, 88eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  X  =  U. s )
9089eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( x  e.  X  <->  x  e.  U. s
) )
91 eluni2 4019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  U. s  <->  E. z  e.  s  x  e.  z )
9290, 91syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( x  e.  X  <->  E. z  e.  s  x  e.  z ) )
93 elssuni 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  s  ->  z  C_ 
U. s )
9493ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  C_  U. s
)
9589adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  X  =  U. s
)
9694, 95sseqtr4d 3385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  C_  X )
97 simp-6l 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  X  C_  CC )
9896, 97sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  C_  CC )
99 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  z )
10098, 99sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  CC )
101100abscld 12238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
102 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
r  e.  RR )
103 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
f : s --> RR+ )
104103ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
f : s --> RR+ )
105 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  e.  s )
106104, 105ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  e.  RR+ )
107106rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  e.  RR )
108100, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  x ) )
109 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  i^i  X
)  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )
110 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  A. u  e.  s  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) )
111110ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  A. u  e.  s  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) )
112 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  z  ->  u  =  z )
113 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  z  ->  (
f `  u )  =  ( f `  z ) )
114113oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  z  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) ) )
115114ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  z  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `
 u ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  z ) )  i^i  X ) )
116112, 115eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
)  <->  z  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `
 z ) )  i^i  X ) ) )
117116rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  s  ->  ( A. u  e.  s  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
)  ->  z  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  z ) )  i^i  X ) ) )
118105, 111, 117sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  i^i  X
) )
11999, 118eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  i^i  X
) )
120109, 119sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) ) )
12124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
12226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
0  e.  CC )
123106rpxrd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  e.  RR* )
124 elbl 18418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  (
f `  z )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( f `  z
) ) ) )
125121, 122, 123, 124syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( f `  z
) ) ) )
126120, 125mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( f `  z ) ) )
127126simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( f `  z ) )
128108, 127eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  <  ( f `  z ) )
129 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  A. u  e.  s 
( f `  u
)  <_  r )
130113breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  z  ->  (
( f `  u
)  <_  r  <->  ( f `  z )  <_  r
) )
131130rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  s  ->  ( A. u  e.  s 
( f `  u
)  <_  r  ->  ( f `  z )  <_  r ) )
132105, 129, 131sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  <_  r )
133101, 107, 102, 128, 132ltletrd 9230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  <  r )
134101, 102, 133ltled 9221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  <_  r )
135134rexlimdvaa 2831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( E. z  e.  s  x  e.  z  ->  ( abs `  x )  <_  r
) )
13692, 135sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( x  e.  X  ->  ( abs `  x )  <_  r
) )
137136ralrimiv 2788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
)
138137expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r  ->  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )
139138reximdva 2818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
( E. r  e.  RR  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )
14086, 139mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r )
141140ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  ->  ( (
f : s --> RR+  /\ 
A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
)
142141exlimdv 1646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  ->  ( E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
)
143142expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  ->  ( ( U. T  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\ 
A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )
144143rexlimdva 2830 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  ( E. s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
( U. T  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
)
14577, 144mpd 15 . . 3  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
14611, 145jca 519 . 2  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
) )
147 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR ,  z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( y  e.  RR ,  z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z
) ) )
148 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR , 
z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) ) " ( (
-u r [,] r
)  X.  ( -u r [,] r ) ) )  =  ( ( y  e.  RR , 
z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) ) " ( (
-u r [,] r
)  X.  ( -u r [,] r ) ) )
1491, 5, 147, 148cnheiborlem 18979 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )  ->  T  e.  Comp )
150149rexlimdvaa 2831 . . . 4  |-  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r  ->  T  e.  Comp )
)
151150imp 419 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
)  ->  T  e.  Comp )
152151adantl 453 . 2  |-  ( ( X  C_  CC  /\  ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
) )  ->  T  e.  Comp )
153146, 152impbida 806 1  |-  ( X 
C_  CC  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   "cima 4881    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   Fincfn 7109   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991   _ici 8992    + caddc 8993    x. cmul 8995   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292   RR+crp 10612   [,]cicc 10919   abscabs 12039   ↾t crest 13648   TopOpenctopn 13649   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688  ℂfldccnfld 16703   Topctop 16958   Clsdccld 17080   Hauscha 17372   Compccmp 17449
This theorem is referenced by:  cnllycmp  18981  cncmet  19275  ftalem3  20857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-cls 17085  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908
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