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Theorem cnheibor 18447
Description: Heine-Borel theorem for complex numbers. A subset of  CC is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnheibor.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cnheibor.3  |-  T  =  ( Jt  X )
Assertion
Ref Expression
cnheibor  |-  ( X 
C_  CC  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
) )
Distinct variable groups:    x, r, T    J, r, x    X, r, x
Dummy variables  f 
s  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem cnheibor
StepHypRef Expression
1 cnheibor.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldhaus 18288 . . . . 5  |-  J  e. 
Haus
32a1i 12 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  J  e.  Haus )
4 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  C_  CC )
5 cnheibor.3 . . . . 5  |-  T  =  ( Jt  X )
6 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  T  e.  Comp )
75, 6syl5eqelr 2369 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  ( Jt  X )  e.  Comp )
81cnfldtopon 18286 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
98toponunii 16664 . . . . 5  |-  CC  =  U. J
109hauscmp 17128 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  X  C_  CC  /\  ( Jt  X )  e.  Comp )  ->  X  e.  ( Clsd `  J ) )
113, 4, 7, 10syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
121cnfldtop 18287 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e. 
Top
139restuni 16887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  CC )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
1412, 4, 13sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
155unieqi 3838 . . . . . . . . . 10  |-  U. T  =  U. ( Jt  X )
1614, 15syl6eqr 2334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  =  U. T )
1716eleq2d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. T ) )
1817biimpar 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  U. T
)  ->  x  e.  X )
1912a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  J  e.  Top )
20 cnex 8813 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
21 ssexg 4161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
224, 20, 21sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  e.  _V )
2322adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  X  e.  _V )
24 cnxmet 18276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
2524a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
26 0cn 8826 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
2726a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  0  e.  CC )
284sselda 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  CC )
2928abscld 11912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
30 peano2re 8980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR )
3231rexrd 8876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR* )
331cnfldtopn 18285 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
3433blopn 18040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  e.  J )
3525, 27, 32, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  e.  J )
36 elrestr 13327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  e.  _V  /\  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  e.  J )  ->  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  ( Jt  X ) )
3719, 23, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  ( Jt  X ) )
3837, 5syl6eleqr 2375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  T )
39 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
4039cnmetdval 18274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( 0  -  x
) ) )
4126, 40mpan 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  (
0  -  x ) ) )
42 df-neg 9035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u x  =  ( 0  -  x )
4342fveq2i 5488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  -u x )  =  ( abs `  (
0  -  x ) )
44 absneg 11756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  -u x )  =  ( abs `  x
) )
4543, 44syl5eqr 2330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  x ) )  =  ( abs `  x
) )
4641, 45eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  x
) )
4728, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  x
) )
4829ltp1d 9682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs `  x )  <  (
( abs `  x
)  +  1 ) )
4947, 48eqbrtrd 4044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( ( abs `  x
)  +  1 ) )
50 elbl 17943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( ( abs `  x
)  +  1 ) ) ) )
5125, 27, 32, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) ) )
5228, 49, 51mpbir2and 890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
53 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
54 elin 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  <-> 
( x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  /\  x  e.  X ) )
5552, 53, 54sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) )
5628absge0d 11920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
5729, 56ge0p1rpd 10411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
58 eqid 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )
59 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) ) )
6059ineq1d 3370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
)  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) )
6160eqeq2d 2295 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  i^i  X )  <-> 
( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) ) )
6261rspcev 2885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR+  /\  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) )
6357, 58, 62sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  E. r  e.  RR+  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) )
64 eleq2 2345 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  i^i  X ) ) )
65 eqeq1 2290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  i^i  X )  <-> 
( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )
6665rexbidv 2565 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X )  <->  E. r  e.  RR+  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )
6764, 66anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  i^i  X ) )  <->  ( x  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  /\  E. r  e.  RR+  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) ) )
6867rspcev 2885 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  T  /\  (
x  e.  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  /\  E. r  e.  RR+  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )  ->  E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )
6938, 55, 63, 68syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X ) ) )
7018, 69syldan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  U. T
)  ->  E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X ) ) )
7170ralrimiva 2627 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  A. x  e.  U. T E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X ) ) )
72 eqid 2284 . . . . . 6  |-  U. T  =  U. T
73 oveq2 5827 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( f `  u )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) ) )
7473ineq1d 3370 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( f `  u )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) )
7574eqeq2d 2295 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( f `  u )  ->  (
u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
)  <->  u  =  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `
 u ) )  i^i  X ) ) )
7672, 75cmpcovf 17112 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Comp  /\  A. x  e.  U. T E. u  e.  T  (
x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
( U. T  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) ) )
776, 71, 76syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  E. s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) ( U. T  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) ) )
78 inss2 3391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P T  i^i  Fin )  C_ 
Fin
79 simpllr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)
8078, 79sseldi 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
s  e.  Fin )
81 ffvelrn 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : s --> RR+  /\  u  e.  s )  ->  ( f `  u )  e.  RR+ )
8281rpred 10385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : s --> RR+  /\  u  e.  s )  ->  ( f `  u )  e.  RR )
8382ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : s --> RR+  ->  A. u  e.  s  ( f `  u )  e.  RR )
8483ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  A. u  e.  s 
( f `  u
)  e.  RR )
85 fimaxre3 9698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r )
8680, 84, 85syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r )
8716ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  ->  X  =  U. T )
8887ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  X  =  U. T )
89 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  U. T  = 
U. s )
9088, 89eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  X  =  U. s )
9190eleq2d 2351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( x  e.  X  <->  x  e.  U. s
) )
92 eluni2 3832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  U. s  <->  E. z  e.  s  x  e.  z )
9391, 92syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( x  e.  X  <->  E. z  e.  s  x  e.  z ) )
94 elssuni 3856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  s  ->  z  C_ 
U. s )
9594ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  C_  U. s
)
9690adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  X  =  U. s
)
9795, 96sseqtr4d 3216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  C_  X )
984ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  ->  X  C_  CC )
9998ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  X  C_  CC )
10097, 99sstrd 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  C_  CC )
101 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  z )
102100, 101sseldd 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  CC )
103102abscld 11912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
104 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
r  e.  RR )
105 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
f : s --> RR+ )
106105ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
f : s --> RR+ )
107 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  e.  s )
108 ffvelrn 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : s --> RR+  /\  z  e.  s )  ->  ( f `  z )  e.  RR+ )
109106, 107, 108syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  e.  RR+ )
110109rpred 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  e.  RR )
111102, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  x ) )
112 inss1 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  i^i  X
)  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )
113 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  A. u  e.  s  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) )
114113ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  A. u  e.  s  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) )
115 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  z  ->  u  =  z )
116 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  z  ->  (
f `  u )  =  ( f `  z ) )
117116oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  z  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) ) )
118117ineq1d 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  z  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `
 u ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  z ) )  i^i  X ) )
119115, 118eqeq12d 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
)  <->  z  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `
 z ) )  i^i  X ) ) )
120119rspcv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  s  ->  ( A. u  e.  s  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
)  ->  z  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  z ) )  i^i  X ) ) )
121107, 114, 120sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  i^i  X
) )
122101, 121eleqtrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  i^i  X
) )
123112, 122sseldi 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) ) )
12424a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
12526a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
0  e.  CC )
126109rpxrd 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  e.  RR* )
127 elbl 17943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  (
f `  z )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( f `  z
) ) ) )
128124, 125, 126, 127syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( f `  z
) ) ) )
129123, 128mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( f `  z ) ) )
130129simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( f `  z ) )
131111, 130eqbrtrrd 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  <  ( f `  z ) )
132 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  A. u  e.  s 
( f `  u
)  <_  r )
133116breq1d 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  z  ->  (
( f `  u
)  <_  r  <->  ( f `  z )  <_  r
) )
134133rspcv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  s  ->  ( A. u  e.  s 
( f `  u
)  <_  r  ->  ( f `  z )  <_  r ) )
135107, 132, 134sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  <_  r )
136103, 110, 104, 131, 135ltletrd 8971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  <  r )
137103, 104, 136ltled 8962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  <_  r )
138137expr 600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  z  e.  s )  ->  ( x  e.  z  ->  ( abs `  x )  <_  r
) )
139138rexlimdva 2668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( E. z  e.  s  x  e.  z  ->  ( abs `  x )  <_  r
) )
14093, 139sylbid 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( x  e.  X  ->  ( abs `  x )  <_  r
) )
141140ralrimiv 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
)
142141expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r  ->  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )
143142reximdva 2656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
( E. r  e.  RR  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )
14486, 143mpd 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r )
145144ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  ->  ( (
f : s --> RR+  /\ 
A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
)
146145exlimdv 1665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  ->  ( E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
)
147146expimpd 588 . . . . 5  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  ->  ( ( U. T  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\ 
A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )
148147rexlimdva 2668 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  ( E. s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
( U. T  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
)
14977, 148mpd 16 . . 3  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
15011, 149jca 520 . 2  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
) )
151 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR ,  z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( y  e.  RR ,  z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z
) ) )
152 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR , 
z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) ) " ( (
-u r [,] r
)  X.  ( -u r [,] r ) ) )  =  ( ( y  e.  RR , 
z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) ) " ( (
-u r [,] r
)  X.  ( -u r [,] r ) ) )
1531, 5, 151, 152cnheiborlem 18446 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )  ->  T  e.  Comp )
154153expr 600 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r  ->  T  e.  Comp ) )
155154rexlimdva 2668 . . . 4  |-  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r  ->  T  e.  Comp )
)
156155imp 420 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
)  ->  T  e.  Comp )
157156adantl 454 . 2  |-  ( ( X  C_  CC  /\  ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
) )  ->  T  e.  Comp )
158150, 157impbida 807 1  |-  ( X 
C_  CC  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1529    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    i^i cin 3152    C_ wss 3153   ~Pcpw 3626   U.cuni 3828   class class class wbr 4024    X. cxp 4686   "cima 4691    o. ccom 4692   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819    e. cmpt2 5821   Fincfn 6858   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733   _ici 8734    + caddc 8735    x. cmul 8737   RR*cxr 8861    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032   -ucneg 9033   RR+crp 10349   [,]cicc 10653   abscabs 11713   ↾t crest 13319   TopOpenctopn 13320   * Metcxmt 16363   ballcbl 16365  ℂfldccnfld 16371   Topctop 16625   Clsdccld 16747   Hauscha 17030   Compccmp 17107
This theorem is referenced by:  cnllycmp  18448  cncmet  18738  ftalem3  20306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-cls 16752  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-cmp 17108  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376
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