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Theorem cnheibor 18852
Description: Heine-Borel theorem for complex numbers. A subset of  CC is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnheibor.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cnheibor.3  |-  T  =  ( Jt  X )
Assertion
Ref Expression
cnheibor  |-  ( X 
C_  CC  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
) )
Distinct variable groups:    x, r, T    J, r, x    X, r, x

Proof of Theorem cnheibor
Dummy variables  f 
s  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnheibor.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldhaus 18691 . . . . 5  |-  J  e. 
Haus
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  J  e.  Haus )
4 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  C_  CC )
5 cnheibor.3 . . . . 5  |-  T  =  ( Jt  X )
6 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  T  e.  Comp )
75, 6syl5eqelr 2473 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  ( Jt  X )  e.  Comp )
81cnfldtopon 18689 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
98toponunii 16921 . . . . 5  |-  CC  =  U. J
109hauscmp 17393 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  X  C_  CC  /\  ( Jt  X )  e.  Comp )  ->  X  e.  ( Clsd `  J ) )
113, 4, 7, 10syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
121cnfldtop 18690 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e. 
Top
139restuni 17149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  CC )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
1412, 4, 13sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
155unieqi 3968 . . . . . . . . . 10  |-  U. T  =  U. ( Jt  X )
1614, 15syl6eqr 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  =  U. T )
1716eleq2d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. T ) )
1817biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  U. T
)  ->  x  e.  X )
1912a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  J  e.  Top )
20 cnex 9005 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
21 ssexg 4291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
224, 20, 21sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  e.  _V )
2322adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  X  e.  _V )
24 cnxmet 18679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
26 0cn 9018 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  0  e.  CC )
284sselda 3292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  CC )
2928abscld 12166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
30 peano2re 9172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR )
3231rexrd 9068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR* )
331cnfldtopn 18688 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
3433blopn 18421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  e.  J )
3525, 27, 32, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  e.  J )
36 elrestr 13584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  e.  _V  /\  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  e.  J )  ->  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  ( Jt  X ) )
3719, 23, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  ( Jt  X ) )
3837, 5syl6eleqr 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  T )
39 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
4039cnmetdval 18677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( 0  -  x
) ) )
4126, 40mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  (
0  -  x ) ) )
42 df-neg 9227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u x  =  ( 0  -  x )
4342fveq2i 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  -u x )  =  ( abs `  (
0  -  x ) )
44 absneg 12010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  -u x )  =  ( abs `  x
) )
4543, 44syl5eqr 2434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  x ) )  =  ( abs `  x
) )
4641, 45eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  x
) )
4728, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  x
) )
4829ltp1d 9874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs `  x )  <  (
( abs `  x
)  +  1 ) )
4947, 48eqbrtrd 4174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( ( abs `  x
)  +  1 ) )
50 elbl 18324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( ( abs `  x
)  +  1 ) ) ) )
5125, 27, 32, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) ) )
5228, 49, 51mpbir2and 889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
53 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
54 elin 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  <-> 
( x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  /\  x  e.  X ) )
5552, 53, 54sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) )
5628absge0d 12174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
5729, 56ge0p1rpd 10607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
58 eqid 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )
59 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) ) )
6059ineq1d 3485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
)  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) )
6160eqeq2d 2399 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  i^i  X )  <-> 
( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) ) )
6261rspcev 2996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR+  /\  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) )
6357, 58, 62sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  E. r  e.  RR+  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) )
64 eleq2 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  i^i  X ) ) )
65 eqeq1 2394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  i^i  X )  <-> 
( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )
6665rexbidv 2671 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X )  <->  E. r  e.  RR+  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )
6764, 66anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  i^i  X ) )  <->  ( x  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  /\  E. r  e.  RR+  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) ) )
6867rspcev 2996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  T  /\  (
x  e.  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  /\  E. r  e.  RR+  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )  ->  E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )
6938, 55, 63, 68syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X ) ) )
7018, 69syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  U. T
)  ->  E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X ) ) )
7170ralrimiva 2733 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  A. x  e.  U. T E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X ) ) )
72 eqid 2388 . . . . . 6  |-  U. T  =  U. T
73 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( f `  u )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) ) )
7473ineq1d 3485 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( f `  u )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) )
7574eqeq2d 2399 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( f `  u )  ->  (
u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
)  <->  u  =  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `
 u ) )  i^i  X ) ) )
7672, 75cmpcovf 17377 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Comp  /\  A. x  e.  U. T E. u  e.  T  (
x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
( U. T  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) ) )
776, 71, 76syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  E. s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) ( U. T  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) ) )
78 inss2 3506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P T  i^i  Fin )  C_ 
Fin
79 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)
8078, 79sseldi 3290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
s  e.  Fin )
81 ffvelrn 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : s --> RR+  /\  u  e.  s )  ->  ( f `  u )  e.  RR+ )
8281rpred 10581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : s --> RR+  /\  u  e.  s )  ->  ( f `  u )  e.  RR )
8382ralrimiva 2733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : s --> RR+  ->  A. u  e.  s  ( f `  u )  e.  RR )
8483ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  A. u  e.  s 
( f `  u
)  e.  RR )
85 fimaxre3 9890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r )
8680, 84, 85syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r )
8716ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  X  =  U. T )
88 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  U. T  = 
U. s )
8987, 88eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  X  =  U. s )
9089eleq2d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( x  e.  X  <->  x  e.  U. s
) )
91 eluni2 3962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  U. s  <->  E. z  e.  s  x  e.  z )
9290, 91syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( x  e.  X  <->  E. z  e.  s  x  e.  z ) )
93 elssuni 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  s  ->  z  C_ 
U. s )
9493ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  C_  U. s
)
9589adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  X  =  U. s
)
9694, 95sseqtr4d 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  C_  X )
97 simp-6l 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  X  C_  CC )
9896, 97sstrd 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  C_  CC )
99 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  z )
10098, 99sseldd 3293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  CC )
101100abscld 12166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
102 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
r  e.  RR )
103 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
f : s --> RR+ )
104103ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
f : s --> RR+ )
105 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  e.  s )
106104, 105ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  e.  RR+ )
107106rpred 10581 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  e.  RR )
108100, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  x ) )
109 inss1 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  i^i  X
)  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )
110 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  A. u  e.  s  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) )
111110ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  A. u  e.  s  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) )
112 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  z  ->  u  =  z )
113 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  z  ->  (
f `  u )  =  ( f `  z ) )
114113oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  z  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) ) )
115114ineq1d 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  z  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `
 u ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  z ) )  i^i  X ) )
116112, 115eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
)  <->  z  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `
 z ) )  i^i  X ) ) )
117116rspcv 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  s  ->  ( A. u  e.  s  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
)  ->  z  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  z ) )  i^i  X ) ) )
118105, 111, 117sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  i^i  X
) )
11999, 118eleqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  i^i  X
) )
120109, 119sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) ) )
12124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
12226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
0  e.  CC )
123106rpxrd 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  e.  RR* )
124 elbl 18324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  (
f `  z )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( f `  z
) ) ) )
125121, 122, 123, 124syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( f `  z
) ) ) )
126120, 125mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( f `  z ) ) )
127126simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( f `  z ) )
128108, 127eqbrtrrd 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  <  ( f `  z ) )
129 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  A. u  e.  s 
( f `  u
)  <_  r )
130113breq1d 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  z  ->  (
( f `  u
)  <_  r  <->  ( f `  z )  <_  r
) )
131130rspcv 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  s  ->  ( A. u  e.  s 
( f `  u
)  <_  r  ->  ( f `  z )  <_  r ) )
132105, 129, 131sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  <_  r )
133101, 107, 102, 128, 132ltletrd 9163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  <  r )
134101, 102, 133ltled 9154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  <_  r )
135134rexlimdvaa 2775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( E. z  e.  s  x  e.  z  ->  ( abs `  x )  <_  r
) )
13692, 135sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( x  e.  X  ->  ( abs `  x )  <_  r
) )
137136ralrimiv 2732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
)
138137expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r  ->  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )
139138reximdva 2762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
( E. r  e.  RR  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )
14086, 139mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r )
141140ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  ->  ( (
f : s --> RR+  /\ 
A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
)
142141exlimdv 1643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  ->  ( E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
)
143142expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  ->  ( ( U. T  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\ 
A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )
144143rexlimdva 2774 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  ( E. s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
( U. T  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
)
14577, 144mpd 15 . . 3  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
14611, 145jca 519 . 2  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
) )
147 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR ,  z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( y  e.  RR ,  z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z
) ) )
148 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR , 
z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) ) " ( (
-u r [,] r
)  X.  ( -u r [,] r ) ) )  =  ( ( y  e.  RR , 
z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) ) " ( (
-u r [,] r
)  X.  ( -u r [,] r ) ) )
1491, 5, 147, 148cnheiborlem 18851 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )  ->  T  e.  Comp )
150149rexlimdvaa 2775 . . . 4  |-  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r  ->  T  e.  Comp )
)
151150imp 419 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
)  ->  T  e.  Comp )
152151adantl 453 . 2  |-  ( ( X  C_  CC  /\  ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
) )  ->  T  e.  Comp )
153146, 152impbida 806 1  |-  ( X 
C_  CC  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    i^i cin 3263    C_ wss 3264   ~Pcpw 3743   U.cuni 3958   class class class wbr 4154    X. cxp 4817   "cima 4822    o. ccom 4823   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    e. cmpt2 6023   Fincfn 7046   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925   _ici 8926    + caddc 8927    x. cmul 8929   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224   -ucneg 9225   RR+crp 10545   [,]cicc 10852   abscabs 11967   ↾t crest 13576   TopOpenctopn 13577   * Metcxmt 16613   ballcbl 16615  ℂfldccnfld 16627   Topctop 16882   Clsdccld 17004   Hauscha 17295   Compccmp 17372
This theorem is referenced by:  cnllycmp  18853  cncmet  19145  ftalem3  20725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-cls 17009  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780
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