Theorem cnid 8112

Description: The group identity element of complex number addition is zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnid	|- 0 = (Id` + )

Proof of Theorem cnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addid2t 5316	. . . 4 |- (x e. CC -> (0 + x) = x)
2	1	rgen 1697	. . 3 |- A.x e. CC (0 + x) = x
3		0cn 5315	. . . 4 |- 0 e. CC
4		opreq1 3965	. . . . . . . 8 |- (y = 0 -> (y + x) = (0 + x))
5	4	eqeq1d 1482	. . . . . . 7 |- (y = 0 -> ((y + x) = x <-> (0 + x) = x))
6	5	ralbidv 1662	. . . . . 6 |- (y = 0 -> (A.x e. CC (y + x) = x <-> A.x e. CC (0 + x) = x))
7		cnaddabl 8111	. . . . . . . . . . 11 |- + e. Abel
8		ablgrp 8086	. . . . . . . . . . 11 |- ( + e. Abel -> + e. Grp)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- + e. Grp
10		axaddopr 5252	. . . . . . . . . . . 12 |- + :(CC X. CC)-->CC
11	9, 10	grprnOLD 8040	. . . . . . . . . . 11 |- CC = ran +
12		eqid 1475	. . . . . . . . . . 11 |- (Id` + ) = (Id` + )
13	11, 12	grpidval 8041	. . . . . . . . . 10 |- ( + e. Grp -> (Id` + ) = U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x})
14	9, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (Id` + ) = U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x}
15	14	eqcomi 1478	. . . . . . . 8 |- U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x} = (Id` + )
16	15	a1i 8	. . . . . . 7 |- (y = 0 -> U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x} = (Id` + ))
17		id 59	. . . . . . 7 |- (y = 0 -> y = 0)
18	16, 17	eqeq12d 1488	. . . . . 6 |- (y = 0 -> (U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x} = y <-> (Id` + ) = 0))
19	6, 18	bibi12d 628	. . . . 5 |- (y = 0 -> ((A.x e. CC (y + x) = x <-> U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x} = y) <-> (A.x e. CC (0 + x) = x <-> (Id` + ) = 0)))
20	11	grpideu 8036	. . . . . . 7 |- ( + e. Grp -> E!y e. CC A.x e. CC (y + x) = x)
21	9, 20	ax-mp 7	. . . . . 6 |- E!y e. CC A.x e. CC (y + x) = x
22		reuuni1 2879	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ E!y e. CC A.x e. CC (y + x) = x) -> (A.x e. CC (y + x) = x <-> U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x} = y))
23	21, 22	mpan2 695	. . . . 5 |- (y e. CC -> (A.x e. CC (y + x) = x <-> U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x} = y))
24	19, 23	vtoclga 1850	. . . 4 |- (0 e. CC -> (A.x e. CC (0 + x) = x <-> (Id` + ) = 0))
25	3, 24	ax-mp 7	. . 3 |- (A.x e. CC (0 + x) = x <-> (Id` + ) = 0)
26	2, 25	mpbi 189	. 2 |- (Id` + ) = 0
27	26	eqcomi 1478	1 |- 0 = (Id` + )

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  E!wreu 1646  {crab 1647  U.cuni 2500  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  0cc0 5221   + caddc 5224  Grpcgr 8016  Idcgi 8017  Abelcabl 8083

This theorem is referenced by:  addinv 8113  readdsubg 8114  zaddsubg 8115  cnnv 8292

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fo 3193  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-sub 5343  df-neg 5345  df-grp 8020  df-gid 8021  df-abl 8084

Copyright terms: Public domain