HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadj Unicode version

Theorem cnlnadj 22621
Description: Every continuous linear operator has an adjoint. Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnlnadj  |-  ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  E. t  e.  (
LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) )
Distinct variable group:    x, t, y, T

Proof of Theorem cnlnadj
StepHypRef Expression
1 cnlnadjeu 22620 . 2  |-  ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  E! t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) )
2 reurex 2729 . 2  |-  ( E! t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( t `  y ) )  ->  E. t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) )
31, 2syl 17 1  |-  ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  E. t  e.  (
LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   E!wreu 2520    i^i cin 3126   ` cfv 5195  (class class class)co 5793   ~Hchil 21461    .ih csp 21464   ConOpccop 21488   LinOpclo 21489
This theorem is referenced by:  cnlnssadj  22622  adjbdln  22625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4106  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4161  ax-pr 4187  ax-un 4485  ax-inf2 7311  ax-cc 8030  ax-cnex 8762  ax-resscn 8763  ax-1cn 8764  ax-icn 8765  ax-addcl 8766  ax-addrcl 8767  ax-mulcl 8768  ax-mulrcl 8769  ax-mulcom 8770  ax-addass 8771  ax-mulass 8772  ax-distr 8773  ax-i2m1 8774  ax-1ne0 8775  ax-1rid 8776  ax-rnegex 8777  ax-rrecex 8778  ax-cnre 8779  ax-pre-lttri 8780  ax-pre-lttrn 8781  ax-pre-ltadd 8782  ax-pre-mulgt0 8783  ax-pre-sup 8784  ax-addf 8785  ax-mulf 8786  ax-hilex 21541  ax-hfvadd 21542  ax-hvcom 21543  ax-hvass 21544  ax-hv0cl 21545  ax-hvaddid 21546  ax-hfvmul 21547  ax-hvmulid 21548  ax-hvmulass 21549  ax-hvdistr1 21550  ax-hvdistr2 21551  ax-hvmul0 21552  ax-hfi 21620  ax-his1 21623  ax-his2 21624  ax-his3 21625  ax-his4 21626  ax-hcompl 21743
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3541  df-pw 3602  df-sn 3621  df-pr 3622  df-tp 3623  df-op 3624  df-uni 3803  df-int 3838  df-iun 3882  df-iin 3883  df-br 3999  df-opab 4053  df-mpt 4054  df-tr 4089  df-eprel 4278  df-id 4282  df-po 4287  df-so 4288  df-fr 4325  df-se 4326  df-we 4327  df-ord 4368  df-on 4369  df-lim 4370  df-suc 4371  df-om 4630  df-xp 4668  df-rel 4669  df-cnv 4670  df-co 4671  df-dm 4672  df-rn 4673  df-res 4674  df-ima 4675  df-fun 5197  df-fn 5198  df-f 5199  df-f1 5200  df-fo 5201  df-f1o 5202  df-fv 5203  df-isom 5204  df-ov 5796  df-oprab 5797  df-mpt2 5798  df-of 6013  df-1st 6057  df-2nd 6058  df-iota 6226  df-riota 6273  df-recs 6357  df-rdg 6392  df-1o 6448  df-2o 6449  df-oadd 6452  df-omul 6453  df-er 6629  df-map 6743  df-pm 6744  df-ixp 6787  df-en 6833  df-dom 6834  df-sdom 6835  df-fin 6836  df-fi 7134  df-sup 7163  df-oi 7194  df-card 7541  df-acn 7544  df-cda 7763  df-pnf 8838  df-mnf 8839  df-xr 8840  df-ltxr 8841  df-le 8842  df-sub 9008  df-neg 9009  df-div 9393  df-nn 9716  df-2 9773  df-3 9774  df-4 9775  df-5 9776  df-6 9777  df-7 9778  df-8 9779  df-9 9780  df-10 9781  df-n0 9935  df-z 9994  df-dec 10094  df-uz 10200  df-q 10286  df-rp 10324  df-xneg 10421  df-xadd 10422  df-xmul 10423  df-ioo 10628  df-ico 10630  df-icc 10631  df-fz 10751  df-fzo 10839  df-fl 10893  df-seq 11015  df-exp 11073  df-hash 11306  df-cj 11551  df-re 11552  df-im 11553  df-sqr 11687  df-abs 11688  df-clim 11929  df-rlim 11930  df-sum 12126  df-struct 13114  df-ndx 13115  df-slot 13116  df-base 13117  df-sets 13118  df-ress 13119  df-plusg 13185  df-mulr 13186  df-starv 13187  df-sca 13188  df-vsca 13189  df-tset 13191  df-ple 13192  df-ds 13194  df-hom 13196  df-cco 13197  df-rest 13291  df-topn 13292  df-topgen 13308  df-pt 13309  df-prds 13312  df-xrs 13367  df-0g 13368  df-gsum 13369  df-qtop 13374  df-imas 13375  df-xps 13377  df-mre 13452  df-mrc 13453  df-acs 13455  df-mnd 14331  df-submnd 14380  df-mulg 14456  df-cntz 14757  df-cmn 15055  df-xmet 16337  df-met 16338  df-bl 16339  df-mopn 16340  df-cnfld 16342  df-top 16600  df-bases 16602  df-topon 16603  df-topsp 16604  df-cld 16720  df-ntr 16721  df-cls 16722  df-nei 16799  df-cn 16921  df-cnp 16922  df-lm 16923  df-t1 17006  df-haus 17007  df-tx 17221  df-hmeo 17410  df-fbas 17484  df-fg 17485  df-fil 17505  df-fm 17597  df-flim 17598  df-flf 17599  df-xms 17849  df-ms 17850  df-tms 17851  df-cfil 18645  df-cau 18646  df-cmet 18647  df-grpo 20820  df-gid 20821  df-ginv 20822  df-gdiv 20823  df-ablo 20911  df-subgo 20931  df-vc 21064  df-nv 21110  df-va 21113  df-ba 21114  df-sm 21115  df-0v 21116  df-vs 21117  df-nmcv 21118  df-ims 21119  df-dip 21236  df-ssp 21260  df-ph 21353  df-cbn 21404  df-hnorm 21510  df-hba 21511  df-hvsub 21513  df-hlim 21514  df-hcau 21515  df-sh 21748  df-ch 21763  df-oc 21793  df-ch0 21794  df-shs 21849  df-pjh 21936  df-h0op 22290  df-nmop 22381  df-cnop 22382  df-lnop 22383  df-unop 22385  df-hmop 22386  df-nmfn 22387  df-nlfn 22388  df-cnfn 22389  df-lnfn 22390
  Copyright terms: Public domain W3C validator