HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjeui Unicode version

Theorem cnlnadjeui 22649
Description: Every continuous linear operator has a unique adjoint. Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadj.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadj.2  |-  T  e. 
ConOp
Assertion
Ref Expression
cnlnadjeui  |-  E! t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) )
Distinct variable group:    x, t, y, T

Proof of Theorem cnlnadjeui
StepHypRef Expression
1 cnlnadj.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
2 cnlnadj.2 . . 3  |-  T  e. 
ConOp
31, 2cnlnadji 22648 . 2  |-  E. t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) )
4 adjmo 22404 . . 3  |-  E* t
( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y ) )
5 inss1 3390 . . . . . . . 8  |-  ( LinOp  i^i  ConOp )  C_  LinOp
65sseli 3177 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  t  e.  LinOp )
7 lnopf 22431 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  LinOp  ->  t : ~H
--> ~H )
86, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  t : ~H --> ~H )
9 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) ) )  -> 
t : ~H --> ~H )
10 eqcom 2286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) )  <->  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  y )
)
11102ralbii 2570 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  y
) )
121lnopfi 22541 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
13 adjsym 22405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) ) )
1412, 13mpan2 654 . . . . . . . . 9  |-  ( t : ~H --> ~H  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  y
)  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) )
1511, 14syl5bb 250 . . . . . . . 8  |-  ( t : ~H --> ~H  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) ) )
1615biimpa 472 . . . . . . 7  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )
179, 16jca 520 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) ) )  -> 
( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) )
188, 17sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) )  ->  ( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) ) )
1918moimi 2191 . . . 4  |-  ( E* t ( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) )  ->  E* t ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) ) )
20 df-rmo 2552 . . . 4  |-  ( E* t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( t `  y ) )  <->  E* t
( t  e.  (
LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) ) )
2119, 20sylibr 205 . . 3  |-  ( E* t ( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) )  ->  E* t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) )
224, 21ax-mp 10 . 2  |-  E* t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) )
23 reu5 2754 . 2  |-  ( E! t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( t `  y ) )  <->  ( E. t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( t `  y ) )  /\  E* t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) ) )
243, 22, 23mpbir2an 888 1  |-  E! t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   E*wmo 2145   A.wral 2544   E.wrex 2545   E!wreu 2546   E*wrmo 2547    i^i cin 3152   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   ~Hchil 21491    .ih csp 21494   ConOpccop 21518   LinOpclo 21519
This theorem is referenced by:  cnlnadjeu  22650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812  ax-hilex 21571  ax-hfvadd 21572  ax-hvcom 21573  ax-hvass 21574  ax-hv0cl 21575  ax-hvaddid 21576  ax-hfvmul 21577  ax-hvmulid 21578  ax-hvmulass 21579  ax-hvdistr1 21580  ax-hvdistr2 21581  ax-hvmul0 21582  ax-hfi 21650  ax-his1 21653  ax-his2 21654  ax-his3 21655  ax-his4 21656  ax-hcompl 21773
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-lm 16953  df-t1 17036  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cfil 18675  df-cau 18676  df-cmet 18677  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ginv 20852  df-gdiv 20853  df-ablo 20941  df-subgo 20961  df-vc 21094  df-nv 21140  df-va 21143  df-ba 21144  df-sm 21145  df-0v 21146  df-vs 21147  df-nmcv 21148  df-ims 21149  df-dip 21266  df-ssp 21290  df-ph 21383  df-cbn 21434  df-hnorm 21540  df-hba 21541  df-hvsub 21543  df-hlim 21544  df-hcau 21545  df-sh 21778  df-ch 21793  df-oc 21823  df-ch0 21824  df-nmop 22411  df-cnop 22412  df-lnop 22413  df-unop 22415  df-nmfn 22417  df-nlfn 22418  df-cnfn 22419  df-lnfn 22420
  Copyright terms: Public domain W3C validator