Theorem cnlnadjeut 10002

Description: Every continuous linear operator has a unique adjoint. Theorem 3.10 of [Beran] p. 104.

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjeut	|- (T e. (LinOp i^i ConOp) -> E!t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. H~ A.y e. H~ ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))

Distinct variable group:   x,t,y,T

Proof of Theorem cnlnadjeut

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 3720	. . . . . 6 |- (T = if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop) -> (T` x) = (if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop)` x))
2	1	opreq1d 3972	. . . . 5 |- (T = if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop) -> ((T` x) .ih y) = ((if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop)` x) .ih y))
3	2	eqeq1d 1482	. . . 4 |- (T = if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop) -> (((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)) <-> ((if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop)` x) .ih y) = (x .ih (t` y))))
4	3	2ralbidv 1679	. . 3 |- (T = if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop) -> (A.x e. H~ A.y e. H~ ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)) <-> A.x e. H~ A.y e. H~ ((if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop)` x) .ih y) = (x .ih (t` y))))
5	4	reubidv 1779	. 2 |- (T = if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop) -> (E!t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. H~ A.y e. H~ ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)) <-> E!t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. H~ A.y e. H~ ((if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop)` x) .ih y) = (x .ih (t` y))))
6		inss1 2228	. . . 4 |- (LinOp i^i ConOp) (_ LinOp
7		elin 2205	. . . . . 6 |- (0hop e. (LinOp i^i ConOp) <-> (0hop e. LinOp /\ 0hop e. ConOp))
8		0lnop 9899	. . . . . 6 |- 0hop e. LinOp
9		0cnop 9894	. . . . . 6 |- 0hop e. ConOp
10	7, 8, 9	mpbir2an 729	. . . . 5 |- 0hop e. (LinOp i^i ConOp)
11	10	elimel 2392	. . . 4 |- if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop) e. (LinOp i^i ConOp)
12	6, 11	sselii 2064	. . 3 |- if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop) e. LinOp
13		inss2 2229	. . . 4 |- (LinOp i^i ConOp) (_ ConOp
14	13, 11	sselii 2064	. . 3 |- if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop) e. ConOp
15	12, 14	cnlnadjeu 10001	. 2 |- E!t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. H~ A.y e. H~ ((if(T e. (LinOp i^i ConOp), T, 0hop)` x) .ih y) = (x .ih (t` y))
16	5, 15	dedth 2381	1 |- (T e. (LinOp i^i ConOp) -> E!t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. H~ A.y e. H~ ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  E!wreu 1646   i^i cin 2044  ifcif 2359  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  H~chil 8772   .ih csp 8777  0_hopch0o 8796  ConOpcco 8799  LinOpclo 8800

This theorem is referenced by:  cnlnadjt 10003  adjbdlnt 10007

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-reg 4580  ax-inf2 4612  ax-ac 4731  ax-hilex 8853  ax-hfvadd 8854  ax-hvcom 8855  ax-hvass 8856  ax-hv0cl 8857  ax-hvaddid 8858  ax-hfvmul 8859  ax-hvmulid 8860  ax-hvmulass 8861  ax-hvdistr1 8862  ax-hvdistr2 8863  ax-hvmul0 8864  ax-hfi 8930  ax-his1 8933  ax-his2 8934  ax-his3 8935  ax-his4 8936  ax-hcompl 9059

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-iin 2566  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-map 4321  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-r1 4630  df-rank 4631  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-n0 6061  df-z 6097  df-fl 6186  df-q 6211  df-seq1 6263  df-shft 6296  df-ioo 6316  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seqz 6483  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-clim 6943  df-sum 6948  df-top 7571  df-bases 7573  df-topgen 7574  df-cld 7642  df-ntr 7643  df-cls 7644  df-cn 7733  df-cnp 7734  df-haus 7761  df-met 7772  df-bl 7774  df-opn 7775  df-lm 7905  df-grp 8020  df-gid 8021  df-ginv 8022  df-gdiv 8023  df-abl 8084  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-vs 8203  df-nm 8204  df-ims 8205  df-ip 8336  df-ph 8456  df-hnorm 8821  df-hvsub 8824  df-hlim 8825  df-hcau 8826  df-sh 9064  df-ch 9080  df-oc 9112  df-ch0 9113  df-pj 9225  df-h0op 9665  df-nmop 9756  df-cnop 9757  df-lnop 9758  df-unop 9760  df-hmop 9761  df-nmfn 9762  df-nlfn 9763  df-cnfn 9764  df-lnfn 9765

Copyright terms: Public domain