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Theorem cnlnadjlem2 22664
Description: Lemma for cnlnadji 22672. 
G is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadjlem.2  |-  T  e. 
ConOp
cnlnadjlem.3  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem2  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
Distinct variable group:    y, g, T
Allowed substitution hints:    G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem2
Dummy variables  w  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.1 . . . . . . . 8  |-  T  e. 
LinOp
21lnopfi 22565 . . . . . . 7  |-  T : ~H
--> ~H
32ffvelrni 5680 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ~H  ->  ( T `  g )  e.  ~H )
4 hicl 21675 . . . . . 6  |-  ( ( ( T `  g
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  g )  .ih  y
)  e.  CC )
53, 4sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  g )  .ih  y
)  e.  CC )
65ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  g  e.  ~H )  ->  ( ( T `  g )  .ih  y
)  e.  CC )
7 cnlnadjlem.3 . . . 4  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
86, 7fmptd 5700 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  G : ~H --> CC )
9 hvmulcl 21609 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  .h  w
)  e.  ~H )
101lnopaddi 22567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  =  ( ( T `  ( x  .h  w ) )  +h  ( T `  z ) ) )
11103adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  ( (
x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( T `
 ( x  .h  w ) )  +h  ( T `  z
) ) )
1211oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  y ) )
132ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  .h  w )  e.  ~H  ->  ( T `  ( x  .h  w ) )  e. 
~H )
142ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
15 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ~H )
16 ax-his2 21678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T `  (
x  .h  w ) )  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  ( x  .h  w
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
1713, 14, 15, 16syl3an 1224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  ( x  .h  w
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
1812, 17eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
19183comr 1159 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  .ih  y
)  =  ( ( ( T `  (
x  .h  w ) )  .ih  y )  +  ( ( T `
 z )  .ih  y ) ) )
20193expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  .h  w
)  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w
) )  .ih  y
)  +  ( ( T `  z ) 
.ih  y ) ) )
219, 20sylanl2 632 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( ( x  .h  w )  +h  z ) ) 
.ih  y )  =  ( ( ( T `
 ( x  .h  w ) )  .ih  y )  +  ( ( T `  z
)  .ih  y )
) )
22 hvaddcl 21608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  w )  +h  z
)  e.  ~H )
239, 22sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  w )  +h  z )  e.  ~H )
24 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . 9  |-  T  e. 
ConOp
251, 24, 7cnlnadjlem1 22663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  w
)  +h  z )  e.  ~H  ->  ( G `  ( (
x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( T `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  .ih  y ) )
2623, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  =  ( ( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  .ih  y ) )
2726adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( G `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( T `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  .ih  y
) )
282ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
29 ax-his3 21679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  w )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
3028, 29syl3an2 1216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
31303comr 1159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
32313expb 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  .h  ( T `
 w ) ) 
.ih  y )  =  ( x  x.  (
( T `  w
)  .ih  y )
) )
331lnopmuli 22568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  w ) )  =  ( x  .h  ( T `  w ) ) )
3433oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( x  .h  w
) )  .ih  y
)  =  ( ( x  .h  ( T `
 w ) ) 
.ih  y ) )
3534adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  ( x  .h  w ) )  .ih  y )  =  ( ( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )
)
361, 24, 7cnlnadjlem1 22663 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( G `  w )  =  ( ( T `
 w )  .ih  y ) )
3736oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
x  x.  ( G `
 w ) )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
3837ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( x  x.  ( G `  w
) )  =  ( x  x.  ( ( T `  w ) 
.ih  y ) ) )
3932, 35, 383eqtr4rd 2339 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( x  x.  ( G `  w
) )  =  ( ( T `  (
x  .h  w ) )  .ih  y ) )
401, 24, 7cnlnadjlem1 22663 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( G `  z )  =  ( ( T `
 z )  .ih  y ) )
4139, 40oveqan12d 5893 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( G `
 w ) )  +  ( G `  z ) )  =  ( ( ( T `
 ( x  .h  w ) )  .ih  y )  +  ( ( T `  z
)  .ih  y )
) )
4221, 27, 413eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( G `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w
) )  +  ( G `  z ) ) )
4342ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  A. z  e.  ~H  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w )
)  +  ( G `
 z ) ) )
4443ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  A. x  e.  CC  A. w  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w ) )  +  ( G `  z
) ) )
45 ellnfn 22479 . . 3  |-  ( G  e.  LinFn 
<->  ( G : ~H --> CC  /\  A. x  e.  CC  A. w  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w ) )  +  ( G `  z
) ) ) )
468, 44, 45sylanbrc 645 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  G  e.  LinFn )
471, 24nmcopexi 22623 . . . . 5  |-  ( normop `  T )  e.  RR
48 normcl 21720 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
49 remulcl 8838 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
5047, 48, 49sylancr 644 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  e.  RR )
5140adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( G `  z
)  =  ( ( T `  z ) 
.ih  y ) )
52 hicl 21675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T `  z
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  z )  .ih  y
)  e.  CC )
5314, 52sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  z )  .ih  y
)  e.  CC )
5451, 53eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( G `  z
)  e.  CC )
5554abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR )
56 normcl 21720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  z )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR )
5714, 56syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR )
58 remulcl 8838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  ( T `  z
) )  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
5957, 48, 58syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( T `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
60 normcl 21720 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  z )  e.  RR )
61 remulcl 8838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  z )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR )
6247, 60, 61sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  e.  RR )
63 remulcl 8838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
6462, 48, 63syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y
) )  e.  RR )
6551fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  =  ( abs `  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
66 bcs 21776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T `  z
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( T `  z
)  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  z ) )  x.  ( normh `  y )
) )
6714, 66sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( T `  z
)  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  z ) )  x.  ( normh `  y )
) )
6865, 67eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  z ) )  x.  ( normh `  y )
) )
6957adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR )
7062adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR )
71 normge0 21721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  y )
)
7248, 71jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  y )
) )
7372adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  y
)  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  y
) ) )
741, 24nmcoplbi 22624 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) ) )
7574adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) ) )
76 lemul1a 9626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  z )
)  e.  RR  /\  ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR  /\  ( (
normh `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  y )
) )  /\  ( normh `  ( T `  z ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) ) )  ->  ( ( normh `  ( T `  z
) )  x.  ( normh `  y ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) ) )
7769, 70, 73, 75, 76syl31anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( T `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  <_ 
( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y
) ) )
7855, 59, 64, 68, 77letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) ) )
7960recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  z )  e.  CC )
8048recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  CC )
8147recni 8865 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  T )  e.  CC
82 mul32 8995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normh `  z )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y )
)  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8381, 82mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  z )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  x.  ( normh `  z
) ) )
8479, 80, 83syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y
) )  =  ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) )  x.  ( normh `  z )
) )
8578, 84breqtrd 4063 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8685ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8786ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
88 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  ->  ( x  x.  ( normh `  z )
)  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8988breq2d 4051 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  z ) )  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) )  x.  ( normh `  z )
) ) )
9089ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  ->  ( A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  z )
)  <->  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) ) )
9190rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  z ) ) )
9250, 87, 91syl2anc 642 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  z )
) )
93 lnfncon 22652 . . . 4  |-  ( G  e.  LinFn  ->  ( G  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  z ) ) ) )
9446, 93syl 15 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  ConFn  <->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  z )
) ) )
9592, 94mpbird 223 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  G  e.  ConFn )
9646, 95jca 518 1  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884   abscabs 11735   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .h csm 21517    .ih csp 21518   normhcno 21519   normopcnop 21541   ConOpccop 21542   LinOpclo 21543   ConFnccnfn 21549   LinFnclf 21550
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  22665  cnlnadjlem5  22667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-t1 17058  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-dip 21290  df-ph 21407  df-hnorm 21564  df-hba 21565  df-hvsub 21567  df-nmop 22435  df-cnop 22436  df-lnop 22437  df-nmfn 22441  df-cnfn 22443  df-lnfn 22444
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