Theorem cnlnadjlem4 9959

Description: Lemma for cnlnadj 9965. The values of auxiliary function F are vectors.

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	|- T e. LinOp
cnlnadjlem.2	|- T e. ConOp
cnlnadjlem.3	|- G = {<.g, h>. | (g e. H~ /\ h = ((T` g) .ih y))}
cnlnadjlem.4	|- B = U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w)}
cnlnadjlem.5	|- F = {<.y, u>. | (y e. H~ /\ u = B)}

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem4	|- (A e. H~ -> (F` A) e. H~)

Distinct variable groups:   g,h,u,v,w,y,A   u,B   w,F   v,G,w   T,g,h,u,v,w,y

Proof of Theorem cnlnadjlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3964	. . . . . . . 8 |- (y = A -> ((T` v) .ih y) = ((T` v) .ih A))
2	1	eqeq1d 1481	. . . . . . 7 |- (y = A -> (((T` v) .ih y) = (v .ih w) <-> ((T` v) .ih A) = (v .ih w)))
3	2	ralbidv 1661	. . . . . 6 |- (y = A -> (A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w) <-> A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)))
4	3	rabbisdv 1804	. . . . 5 |- (y = A -> {w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w)} = {w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)})
5	4	unieqd 2508	. . . 4 |- (y = A -> U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w)} = U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)})
6		cnlnadjlem.4	. . . 4 |- B = U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w)}
7	5, 6	syl5eq 1517	. . 3 |- (y = A -> B = U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)})
8		cnlnadjlem.5	. . 3 |- F = {<.y, u>. | (y e. H~ /\ u = B)}
9		ax-hilex 8824	. . . . 5 |- H~ e. V
10	9	rabex 2721	. . . 4 |- {w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)} e. V
11	10	uniex 2866	. . 3 |- U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)} e. V
12	7, 8, 11	fvopab4 3775	. 2 |- (A e. H~ -> (F` A) = U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)})
13	3	reubidv 1778	. . . 4 |- (y = A -> (E!w e. H~ A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w) <-> E!w e. H~ A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)))
14		cnlnadjlem.1	. . . . . . . 8 |- T e. LinOp
15		cnlnadjlem.2	. . . . . . . 8 |- T e. ConOp
16		cnlnadjlem.3	. . . . . . . 8 |- G = {<.g, h>. | (g e. H~ /\ h = ((T` g) .ih y))}
17	14, 15, 16	cnlnadjlem2 9957	. . . . . . 7 |- (y e. H~ -> (G e. LinFn /\ G e. ConFn))
18		elin 2204	. . . . . . 7 |- (G e. (LinFn i^i ConFn) <-> (G e. LinFn /\ G e. ConFn))
19	17, 18	sylibr 200	. . . . . 6 |- (y e. H~ -> G e. (LinFn i^i ConFn))
20		riesz4t 9953	. . . . . 6 |- (G e. (LinFn i^i ConFn) -> E!w e. H~ A.v e. H~ (G` v) = (v .ih w))
21	19, 20	syl 10	. . . . 5 |- (y e. H~ -> E!w e. H~ A.v e. H~ (G` v) = (v .ih w))
22	14, 15, 16	cnlnadjlem1 9956	. . . . . . . 8 |- (v e. H~ -> (G` v) = ((T` v) .ih y))
23	22	eqeq1d 1481	. . . . . . 7 |- (v e. H~ -> ((G` v) = (v .ih w) <-> ((T` v) .ih y) = (v .ih w)))
24	23	ralbiia 1671	. . . . . 6 |- (A.v e. H~ (G` v) = (v .ih w) <-> A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w))
25	24	reubii 1780	. . . . 5 |- (E!w e. H~ A.v e. H~ (G` v) = (v .ih w) <-> E!w e. H~ A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w))
26	21, 25	sylib 198	. . . 4 |- (y e. H~ -> E!w e. H~ A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w))
27	13, 26	vtoclga 1849	. . 3 |- (A e. H~ -> E!w e. H~ A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w))
28		reucl 2881	. . 3 |- (E!w e. H~ A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w) -> U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)} e. H~)
29	27, 28	syl 10	. 2 |- (A e. H~ -> U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)} e. H~)
30	12, 29	eqeltrd 1546	1 |- (A e. H~ -> (F` A) e. H~)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  E!wreu 1645  {crab 1646   i^i cin 2043  U.cuni 2499  {copab 2662  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  H~chil 8743   .ih csp 8748  ConOpcco 8770  LinOpclo 8771  ConFnccnf 8777  LinFnclf 8778

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem6 9961  cnlnadjlem7 9962

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf2 4608  ax-ac 4727  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hvcom 8826  ax-hvass 8827  ax-hv0cl 8828  ax-hvaddid 8829  ax-hfvmul 8830  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvdistr1 8833  ax-hvdistr2 8834  ax-hvmul0 8835  ax-hfi 8901  ax-his1 8904  ax-his2 8905  ax-his3 8906  ax-his4 8907  ax-hcompl 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-iin 2565  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-r1 4626  df-rank 4627  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-fl 6182  df-q 6206  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-ioo 6311  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-clim 6928  df-sum 6933  df-top 7552  df-bases 7554  df-topgen 7555  df-cld 7623  df-ntr 7624  df-cls 7625  df-cn 7714  df-cnp 7715  df-haus 7742  df-met 7753  df-bl 7755  df-opn 7756  df-lm 7884  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-gdiv 8002  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-vs 8182  df-nm 8183  df-ims 8184  df-ip 8312  df-ph 8431  df-hnorm 8792  df-hvsub 8795  df-hlim 8796  df-hcau 8797  df-sh 9031  df-ch 9047  df-oc 9079  df-ch0 9080  df-nmop 9722  df-cnop 9723  df-lnop 9724  df-nmfn 9728  df-nlfn 9729  df-cnfn 9730  df-lnfn 9731

Copyright terms: Public domain