HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem6 Unicode version

Theorem cnlnadjlem6 23425
Description: Lemma for cnlnadji 23429. 
F is linear. (Contributed by NM, 17-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadjlem.2  |-  T  e. 
ConOp
cnlnadjlem.3  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
cnlnadjlem.4  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
cnlnadjlem.5  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem6  |-  F  e. 
LinOp
Distinct variable groups:    v, g, w, y    w, F    T, g, v, w, y    v, G, w
Allowed substitution hints:    B( y, w, v, g)    F( y, v, g)    G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem6
Dummy variables  f 
z  t  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.5 . . 3  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
2 cnlnadjlem.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
3 cnlnadjlem.2 . . . 4  |-  T  e. 
ConOp
4 cnlnadjlem.3 . . . 4  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
5 cnlnadjlem.4 . . . 4  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
62, 3, 4, 5cnlnadjlem3 23422 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  B  e.  ~H )
71, 6fmpti 5833 . 2  |-  F : ~H
--> ~H
82lnopfi 23322 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
98ffvelrni 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ~H  ->  ( T `  t )  e.  ~H )
109adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( T `  t )  e.  ~H )
11 hvmulcl 22366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  ->  ( x  .h  f
)  e.  ~H )
1211ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
x  .h  f )  e.  ~H )
13 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  z  e.  ~H )
14 his7 22442 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  t
)  e.  ~H  /\  ( x  .h  f
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  t )  .ih  (
( x  .h  f
)  +h  z ) )  =  ( ( ( T `  t
)  .ih  ( x  .h  f ) )  +  ( ( T `  t )  .ih  z
) ) )
1510, 12, 13, 14syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
( T `  t
)  .ih  ( (
x  .h  f )  +h  z ) )  =  ( ( ( T `  t ) 
.ih  ( x  .h  f ) )  +  ( ( T `  t )  .ih  z
) ) )
16 hvaddcl 22365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  f
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  f )  +h  z
)  e.  ~H )
1711, 16sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  f )  +h  z )  e.  ~H )
182, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem5 23424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  .h  f )  +h  z
)  e.  ~H  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( T `  t )  .ih  (
( x  .h  f
)  +h  z ) )  =  ( t 
.ih  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z
) ) ) )
1917, 18sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
( T `  t
)  .ih  ( (
x  .h  f )  +h  z ) )  =  ( t  .ih  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z ) ) ) )
20 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  x  e.  CC )
219adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( T `  t )  e.  ~H )
22 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  f  e.  ~H )
23 his5 22438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  t )  e.  ~H  /\  f  e.  ~H )  ->  (
( T `  t
)  .ih  ( x  .h  f ) )  =  ( ( * `  x )  x.  (
( T `  t
)  .ih  f )
) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 t )  .ih  ( x  .h  f
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( ( T `  t ) 
.ih  f ) ) )
25 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  t  e.  ~H )
262, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem4 23423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ~H  ->  ( F `  f )  e.  ~H )
2726ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( F `  f )  e.  ~H )
28 his5 22438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  t  e.  ~H  /\  ( F `  f )  e.  ~H )  ->  (
t  .ih  ( x  .h  ( F `  f
) ) )  =  ( ( * `  x )  x.  (
t  .ih  ( F `  f ) ) ) )
2920, 25, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( t  .ih  ( x  .h  ( F `  f )
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( t 
.ih  ( F `  f ) ) ) )
302, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem5 23424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ~H  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( T `  t )  .ih  f
)  =  ( t 
.ih  ( F `  f ) ) )
3130adantll 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 t )  .ih  f )  =  ( t  .ih  ( F `
 f ) ) )
3231oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( * `
 x )  x.  ( ( T `  t )  .ih  f
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( t 
.ih  ( F `  f ) ) ) )
3329, 32eqtr4d 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( t  .ih  ( x  .h  ( F `  f )
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( ( T `  t ) 
.ih  f ) ) )
3424, 33eqtr4d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 t )  .ih  ( x  .h  f
) )  =  ( t  .ih  ( x  .h  ( F `  f ) ) ) )
3534adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
( T `  t
)  .ih  ( x  .h  f ) )  =  ( t  .ih  (
x  .h  ( F `
 f ) ) ) )
362, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem5 23424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( T `  t )  .ih  z
)  =  ( t 
.ih  ( F `  z ) ) )
3736adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
( T `  t
)  .ih  z )  =  ( t  .ih  ( F `  z ) ) )
3835, 37oveq12d 6040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  t )  .ih  (
x  .h  f ) )  +  ( ( T `  t ) 
.ih  z ) )  =  ( ( t 
.ih  ( x  .h  ( F `  f
) ) )  +  ( t  .ih  ( F `  z )
) ) )
39 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  t  e.  ~H )
40 hvmulcl 22366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( F `  f )  e.  ~H )  -> 
( x  .h  ( F `  f )
)  e.  ~H )
4126, 40sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  ->  ( x  .h  ( F `  f )
)  e.  ~H )
4241ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( F `
 f ) )  e.  ~H )
432, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem4 23423 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( F `  z )  e.  ~H )
4443ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( F `  z )  e.  ~H )
45 his7 22442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  ~H  /\  ( x  .h  ( F `  f )
)  e.  ~H  /\  ( F `  z )  e.  ~H )  -> 
( t  .ih  (
( x  .h  ( F `  f )
)  +h  ( F `
 z ) ) )  =  ( ( t  .ih  ( x  .h  ( F `  f ) ) )  +  ( t  .ih  ( F `  z ) ) ) )
4639, 42, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
t  .ih  ( (
x  .h  ( F `
 f ) )  +h  ( F `  z ) ) )  =  ( ( t 
.ih  ( x  .h  ( F `  f
) ) )  +  ( t  .ih  ( F `  z )
) ) )
4738, 46eqtr4d 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  t )  .ih  (
x  .h  f ) )  +  ( ( T `  t ) 
.ih  z ) )  =  ( t  .ih  ( ( x  .h  ( F `  f
) )  +h  ( F `  z )
) ) )
4815, 19, 473eqtr3d 2429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
t  .ih  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z
) ) )  =  ( t  .ih  (
( x  .h  ( F `  f )
)  +h  ( F `
 z ) ) ) )
4948ralrimiva 2734 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  A. t  e.  ~H  ( t  .ih  ( F `  ( (
x  .h  f )  +h  z ) ) )  =  ( t 
.ih  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) ) ) )
502, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem4 23423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  f
)  +h  z )  e.  ~H  ->  ( F `  ( (
x  .h  f )  +h  z ) )  e.  ~H )
5117, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z
) )  e.  ~H )
52 hvaddcl 22365 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  ( F `  f )
)  e.  ~H  /\  ( F `  z )  e.  ~H )  -> 
( ( x  .h  ( F `  f
) )  +h  ( F `  z )
)  e.  ~H )
5341, 43, 52syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) )  e.  ~H )
54 hial2eq2 22459 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  (
( x  .h  f
)  +h  z ) )  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  ( F `  f
) )  +h  ( F `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. t  e. 
~H  ( t  .ih  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z ) ) )  =  ( t 
.ih  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) ) )  <->  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( F `  f )
)  +h  ( F `
 z ) ) ) )
5551, 53, 54syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. t  e.  ~H  ( t  .ih  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z ) ) )  =  ( t 
.ih  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) ) )  <->  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( F `  f )
)  +h  ( F `
 z ) ) ) )
5649, 55mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( F `  f )
)  +h  ( F `
 z ) ) )
5756ralrimiva 2734 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) ) )
5857rgen2 2747 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. f  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) )
59 ellnop 23211 . 2  |-  ( F  e.  LinOp 
<->  ( F : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. f  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) ) ) )
607, 58, 59mpbir2an 887 1  |-  F  e. 
LinOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651    e. cmpt 4209   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   iota_crio 6480   CCcc 8923    + caddc 8928    x. cmul 8930   *ccj 11830   ~Hchil 22272    +h cva 22273    .h csm 22274    .ih csp 22275   ConOpccop 22299   LinOpclo 22300
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  23427  cnlnadjlem9  23428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cc 8250  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005  ax-hilex 22352  ax-hfvadd 22353  ax-hvcom 22354  ax-hvass 22355  ax-hv0cl 22356  ax-hvaddid 22357  ax-hfvmul 22358  ax-hvmulid 22359  ax-hvmulass 22360  ax-hvdistr1 22361  ax-hvdistr2 22362  ax-hvmul0 22363  ax-hfi 22431  ax-his1 22434  ax-his2 22435  ax-his3 22436  ax-his4 22437  ax-hcompl 22554
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-acn 7764  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-lm 17217  df-t1 17302  df-haus 17303  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cfil 19081  df-cau 19082  df-cmet 19083  df-grpo 21629  df-gid 21630  df-ginv 21631  df-gdiv 21632  df-ablo 21720  df-subgo 21740  df-vc 21875  df-nv 21921  df-va 21924  df-ba 21925  df-sm 21926  df-0v 21927  df-vs 21928  df-nmcv 21929  df-ims 21930  df-dip 22047  df-ssp 22071  df-ph 22164  df-cbn 22215  df-hnorm 22321  df-hba 22322  df-hvsub 22324  df-hlim 22325  df-hcau 22326  df-sh 22559  df-ch 22574  df-oc 22604  df-ch0 22605  df-nmop 23192  df-cnop 23193  df-lnop 23194  df-nmfn 23198  df-nlfn 23199  df-cnfn 23200  df-lnfn 23201
  Copyright terms: Public domain W3C validator