Theorem cnmet 7856

Description: The absolute value metric determines a metric space on the complex numbers. This theorem provides a link between complex numbers and metrics spaces, making metric space theorems available for use with complex numbers. (Contributed by FL, 9-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmet.1	|- D = (abs o. - )

Assertion

Ref	Expression
cnmet	|- D e. Met

Proof of Theorem cnmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcnex 5247	. 2 |- CC e. V
2		absf 6851	. . . 4 |- abs:CC-->RR
3		subopr 5350	. . . 4 |- - :(CC X. CC)-->CC
4		fco 3627	. . . 4 |- ((abs:CC-->RR /\ - :(CC X. CC)-->CC) -> (abs o. - ):(CC X. CC)-->RR)
5	2, 3, 4	mp2an 696	. . 3 |- (abs o. - ):(CC X. CC)-->RR
6		cnmet.1	. . . 4 |- D = (abs o. - )
7		feq1 3612	. . . 4 |- (D = (abs o. - ) -> (D:(CC X. CC)-->RR <-> (abs o. - ):(CC X. CC)-->RR))
8	6, 7	ax-mp 7	. . 3 |- (D:(CC X. CC)-->RR <-> (abs o. - ):(CC X. CC)-->RR)
9	5, 8	mpbir 190	. 2 |- D:(CC X. CC)-->RR
10		subclt 5347	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x - y) e. CC)
11		abs00t 6796	. . . 4 |- ((x - y) e. CC -> ((abs` (x - y)) = 0 <-> (x - y) = 0))
12	10, 11	syl 10	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> ((abs` (x - y)) = 0 <-> (x - y) = 0))
13	6	cnmetdval 7854	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (xDy) = (abs` (x - y)))
14	13	eqcomd 1477	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (abs` (x - y)) = (xDy))
15	14	eqeq1d 1480	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> ((abs` (x - y)) = 0 <-> (xDy) = 0))
16		subeq0t 5383	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> ((x - y) = 0 <-> x = y))
17	12, 15, 16	3bitr3d 547	. 2 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> ((xDy) = 0 <-> x = y))
18		abs3dift 6844	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC) -> (abs` (x - y)) <_ ((abs` (x - z)) + (abs` (z - y))))
19		abssubt 6840	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ z e. CC) -> (abs` (x - z)) = (abs` (z - x)))
20	19	opreq1d 3966	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ z e. CC) -> ((abs` (x - z)) + (abs` (z - y))) = ((abs` (z - x)) + (abs` (z - y))))
21	20	3adant2 797	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC) -> ((abs` (x - z)) + (abs` (z - y))) = ((abs` (z - x)) + (abs` (z - y))))
22	18, 21	breqtrd 2634	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC) -> (abs` (x - y)) <_ ((abs` (z - x)) + (abs` (z - y))))
23	13	3adant3 798	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC) -> (xDy) = (abs` (x - y)))
24	6	cnmetdval 7854	. . . . . 6 |- ((z e. CC /\ x e. CC) -> (zDx) = (abs` (z - x)))
25	24	3adant3 798	. . . . 5 |- ((z e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC) -> (zDx) = (abs` (z - x)))
26	6	cnmetdval 7854	. . . . . 6 |- ((z e. CC /\ y e. CC) -> (zDy) = (abs` (z - y)))
27	26	3adant2 797	. . . . 5 |- ((z e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC) -> (zDy) = (abs` (z - y)))
28	25, 27	opreq12d 3969	. . . 4 |- ((z e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC) -> ((zDx) + (zDy)) = ((abs` (z - x)) + (abs` (z - y))))
29	28	3coml 839	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC) -> ((zDx) + (zDy)) = ((abs` (z - x)) + (abs` (z - y))))
30	22, 23, 29	3brtr4d 2640	. 2 |- ((x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC) -> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
31	1, 9, 17, 30	ismeti 7752	1 |- D e. Met

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   X. cxp 3163   o. ccom 3169  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214   + caddc 5217   - cmin 5272   <_ cle 5275  abscabs 6689  Metcme 7739

This theorem is referenced by:  cncfmet 7857  cn2met 7859  remet 7862  lmclim 7914  bopcnlem1 7931  bopcn 7935  fsumcnlem 7939  cncms 7948  sqcn 8283  nmcnc 8289  sm1cnilem 8294  ip1cnilem2 8321  ip1cnilem3 8322  ip1cnilem4 8323  ipasslem6 8439  ipasslem7 8440  ipasslem8 8441  sincnlem 8604

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-met 7743

Copyright terms: Public domain