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Theorem cnmpt2pc 18428
Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt2pc.r  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnmpt2pc.m  |-  M  =  ( Rt  ( A [,] B ) )
cnmpt2pc.n  |-  N  =  ( Rt  ( B [,] C ) )
cnmpt2pc.o  |-  O  =  ( Rt  ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cnmpt2pc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
cnmpt2pc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
cnmpt2pc.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2pc.q  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  B  /\  y  e.  X ) )  ->  D  =  E )
cnmpt2pc.d  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D )  e.  ( ( M  tX  J
)  Cn  K ) )
cnmpt2pc.e  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  E )  e.  ( ( N  tX  J
)  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2pc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( O  tX  J )  Cn  K
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, K, y    ph, x, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)    R( x, y)    E( x, y)    J( x, y)    M( x, y)    N( x, y)    O( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2pc
StepHypRef Expression
1 eqid 2285 . 2  |-  U. ( O  tX  J )  = 
U. ( O  tX  J )
2 eqid 2285 . 2  |-  U. K  =  U. K
3 cnmpt2pc.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 cnmpt2pc.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 iccssre 10733 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A [,] C
)  C_  RR )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  C_  RR )
7 cnmpt2pc.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
86, 7sseldd 3183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
9 icccld 18278 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
103, 8, 9syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
11 cnmpt2pc.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
1211fveq2i 5530 . . . . . 6  |-  ( Clsd `  R )  =  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
1310, 12syl6eleqr 2376 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  R ) )
14 ssun1 3340 . . . . . 6  |-  ( A [,] B )  C_  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) )
15 iccsplit 10770 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  ( A [,] C
) )  ->  ( A [,] C )  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
163, 4, 7, 15syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
1714, 16syl5sseqr 3229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( A [,] C ) )
18 uniretop 18273 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
1911unieqi 3839 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2018, 19eqtr4i 2308 . . . . . 6  |-  RR  =  U. R
2120restcldi 16906 . . . . 5  |-  ( ( ( A [,] C
)  C_  RR  /\  ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  R
)  /\  ( A [,] B )  C_  ( A [,] C ) )  ->  ( A [,] B )  e.  (
Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
226, 13, 17, 21syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
23 cnmpt2pc.o . . . . 5  |-  O  =  ( Rt  ( A [,] C ) )
2423fveq2i 5530 . . . 4  |-  ( Clsd `  O )  =  (
Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) )
2522, 24syl6eleqr 2376 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  O ) )
26 cnmpt2pc.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
27 toponuni 16667 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2826, 27syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
29 topontop 16666 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
30 eqid 2285 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
3130topcld 16774 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  ( Clsd `  J
) )
3226, 29, 313syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  e.  (
Clsd `  J )
)
3328, 32eqeltrd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Clsd `  J ) )
34 txcld 17300 . . 3  |-  ( ( ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  O )  /\  X  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( A [,] B
)  X.  X )  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J ) ) )
3525, 33, 34syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  X.  X
)  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J
) ) )
36 icccld 18278 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
378, 4, 36syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3837, 12syl6eleqr 2376 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  R ) )
39 ssun2 3341 . . . . . 6  |-  ( B [,] C )  C_  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) )
4039, 16syl5sseqr 3229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  ( A [,] C ) )
4120restcldi 16906 . . . . 5  |-  ( ( ( A [,] C
)  C_  RR  /\  ( B [,] C )  e.  ( Clsd `  R
)  /\  ( B [,] C )  C_  ( A [,] C ) )  ->  ( B [,] C )  e.  (
Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
426, 38, 40, 41syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  ( Rt  ( A [,] C ) ) ) )
4342, 24syl6eleqr 2376 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  O ) )
44 txcld 17300 . . 3  |-  ( ( ( B [,] C
)  e.  ( Clsd `  O )  /\  X  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( B [,] C
)  X.  X )  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J ) ) )
4543, 33, 44syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B [,] C )  X.  X
)  e.  ( Clsd `  ( O  tX  J
) ) )
4616xpeq1d 4714 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] C )  X.  X
)  =  ( ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) )  X.  X ) )
47 xpundir 4744 . . . 4  |-  ( ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) )  X.  X )  =  ( ( ( A [,] B )  X.  X )  u.  (
( B [,] C
)  X.  X ) )
4846, 47syl6eq 2333 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] C )  X.  X
)  =  ( ( ( A [,] B
)  X.  X )  u.  ( ( B [,] C )  X.  X ) ) )
49 retopon 18274 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
5011, 49eqeltri 2355 . . . . . . 7  |-  R  e.  (TopOn `  RR )
51 resttopon 16894 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( A [,] C )  C_  RR )  ->  ( Rt  ( A [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) ) )
5250, 6, 51sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Rt  ( A [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) ) )
5323, 52syl5eqel 2369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) ) )
54 txtopon 17288 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  (TopOn `  ( A [,] C ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( O  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( A [,] C )  X.  X
) ) )
5553, 26, 54syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( A [,] C )  X.  X
) ) )
56 toponuni 16667 . . . 4  |-  ( ( O  tX  J )  e.  (TopOn `  (
( A [,] C
)  X.  X ) )  ->  ( ( A [,] C )  X.  X )  =  U. ( O  tX  J ) )
5755, 56syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] C )  X.  X
)  =  U. ( O  tX  J ) )
5848, 57eqtr3d 2319 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A [,] B )  X.  X )  u.  (
( B [,] C
)  X.  X ) )  =  U. ( O  tX  J ) )
59 cnmpt2pc.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( Rt  ( A [,] B ) )
6017, 6sstrd 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
61 resttopon 16894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( Rt  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
6250, 60, 61sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Rt  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
6359, 62syl5eqel 2369 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
64 txtopon 17288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( M  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( A [,] B )  X.  X
) ) )
6563, 26, 64syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( A [,] B )  X.  X
) ) )
66 cnmpt2pc.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D )  e.  ( ( M  tX  J
)  Cn  K ) )
67 cntop2 16973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D )  e.  ( ( M  tX  J )  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
692toptopon 16673 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
7068, 69sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
71 elicc2 10717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
723, 8, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
7372biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
7473simp3d 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  <_  B )
75743adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  X
)  ->  x  <_  B )
76 iftrue 3573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  <_  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  D )
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  X
)  ->  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  =  D )
7877mpt2eq3dva 5914 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  D ) )
7978, 66eqeltrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( M  tX  J )  Cn  K
) )
80 cnf2 16981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( x  e.  ( A [,] B
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( M  tX  J )  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] B )  X.  X ) --> U. K )
8165, 70, 79, 80syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] B )  X.  X
) --> U. K )
82 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)
8382fmpt2 6193 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  X  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  <->  ( x  e.  ( A [,] B
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] B )  X.  X
) --> U. K )
8481, 83sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
85 cnmpt2pc.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( Rt  ( B [,] C ) )
8640, 6sstrd 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
87 resttopon 16894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( B [,] C )  C_  RR )  ->  ( Rt  ( B [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) ) )
8850, 86, 87sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Rt  ( B [,] C ) )  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) ) )
8985, 88syl5eqel 2369 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) ) )
90 txtopon 17288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  (TopOn `  ( B [,] C ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( N  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( B [,] C )  X.  X
) ) )
9189, 26, 90syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( B [,] C )  X.  X
) ) )
92 elicc2 10717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
938, 4, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
9493biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C
) )
9594simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  B  <_  x )
9695biantrud 493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  <_  B  <->  ( x  <_  B  /\  B  <_  x
) ) )
9794simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  x  e.  RR )
988adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  B  e.  RR )
9997, 98letri3d 8963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  =  B  <->  ( x  <_  B  /\  B  <_  x
) ) )
10096, 99bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( x  <_  B  <->  x  =  B
) )
1011003adant3 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x  <_  B  <->  x  =  B
) )
102 cnmpt2pc.q . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  B  /\  y  e.  X ) )  ->  D  =  E )
103102ancom2s 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  x  =  B ) )  ->  D  =  E )
104103ifeq1d 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  x  =  B ) )  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  if ( x  <_  B ,  E ,  E ) )
105 ifid 3599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( x  <_  B ,  E ,  E )  =  E
106104, 105syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  x  =  B ) )  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E )
107106expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E ) )
1081073adant2 974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x  =  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E ) )
109101, 108sylbid 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x  <_  B  ->  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  =  E ) )
110 iffalse 3574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  <_  B  ->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  =  E )
111109, 110pm2.61d1 151 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,] C )  /\  y  e.  X
)  ->  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  =  E )
112111mpt2eq3dva 5914 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  E ) )
113 cnmpt2pc.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  E )  e.  ( ( N  tX  J
)  Cn  K ) )
114112, 113eqeltrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( N  tX  J )  Cn  K
) )
115 cnf2 16981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( x  e.  ( B [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( N  tX  J )  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( B [,] C )  X.  X ) --> U. K )
11691, 70, 114, 115syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( B [,] C )  X.  X
) --> U. K )
117 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)
118117fmpt2 6193 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  X  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  <->  ( x  e.  ( B [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( B [,] C )  X.  X
) --> U. K )
119116, 118sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
120 ralun 3359 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  /\  A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )  ->  A. x  e.  (
( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
12184, 119, 120syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
12216raleqdv 2744 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A [,] C
) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K 
<-> 
A. x  e.  ( ( A [,] B
)  u.  ( B [,] C ) ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K ) )
123121, 122mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] C ) A. y  e.  X  if ( x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K )
124 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)  =  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E )
)
125124fmpt2 6193 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( A [,] C ) A. y  e.  X  if (
x  <_  B ,  D ,  E )  e.  U. K  <->  ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] C )  X.  X
) --> U. K )
126123, 125sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] C )  X.  X
) --> U. K )
12757feq2d 5382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : ( ( A [,] C )  X.  X
) --> U. K  <->  ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : U. ( O  tX  J ) --> U. K
) )
128126, 127mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) : U. ( O  tX  J ) --> U. K
)
129 ssid 3199 . . . . 5  |-  X  C_  X
130 resmpt2 5944 . . . . 5  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  ( A [,] C )  /\  X  C_  X )  ->  (
( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
13117, 129, 130sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
132131, 79eqeltrd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  e.  ( ( M  tX  J
)  Cn  K ) )
133 retop 18272 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
13411, 133eqeltri 2355 . . . . . . . . 9  |-  R  e. 
Top
135 ovex 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( A [,] C )  e. 
_V
136 resttop 16893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  ( A [,] C )  e.  _V )  -> 
( Rt  ( A [,] C ) )  e. 
Top )
137134, 135, 136mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( Rt  ( A [,] C ) )  e.  Top
13823, 137eqeltri 2355 . . . . . . 7  |-  O  e. 
Top
139138a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Top )
140 ovex 5885 . . . . . . 7  |-  ( A [,] B )  e. 
_V
141140a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  e.  _V )
142 txrest 17327 . . . . . 6  |-  ( ( ( O  e.  Top  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  /\  ( ( A [,] B )  e.  _V  /\  X  e.  ( Clsd `  J ) ) )  ->  ( ( O 
tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( A [,] B ) )  tX  ( Jt  X ) ) )
143139, 26, 141, 33, 142syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( A [,] B ) ) 
tX  ( Jt  X ) ) )
144134a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
145135a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  e.  _V )
146 restabs 16898 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  ( A [,] B ) 
C_  ( A [,] C )  /\  ( A [,] C )  e. 
_V )  ->  (
( Rt  ( A [,] C ) )t  ( A [,] B ) )  =  ( Rt  ( A [,] B ) ) )
147144, 17, 145, 146syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Rt  ( A [,] C ) )t  ( A [,] B ) )  =  ( Rt  ( A [,] B ) ) )
14823oveq1i 5870 . . . . . . 7  |-  ( Ot  ( A [,] B ) )  =  ( ( Rt  ( A [,] C
) )t  ( A [,] B ) )
149147, 148, 593eqtr4g 2342 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Ot  ( A [,] B ) )  =  M )
15028oveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  X )  =  ( Jt 
U. J ) )
15130restid 13340 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( Jt  U. J
)  =  J )
15226, 151syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  U. J )  =  J )
153150, 152eqtrd 2317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Jt  X )  =  J )
154149, 153oveq12d 5878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ot  ( A [,] B ) ) 
tX  ( Jt  X ) )  =  ( M 
tX  J ) )
155143, 154eqtrd 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  =  ( M  tX  J
) )
156155oveq1d 5875 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O 
tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  Cn  K )  =  ( ( M  tX  J )  Cn  K
) )
157132, 156eleqtrrd 2362 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( A [,] B )  X.  X
) )  e.  ( ( ( O  tX  J )t  ( ( A [,] B )  X.  X ) )  Cn  K ) )
158 resmpt2 5944 . . . . 5  |-  ( ( ( B [,] C
)  C_  ( A [,] C )  /\  X  C_  X )  ->  (
( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
15940, 129, 158sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  =  ( x  e.  ( B [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) ) )
160159, 114eqeltrd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  e.  ( ( N  tX  J
)  Cn  K ) )
161 ovex 5885 . . . . . . 7  |-  ( B [,] C )  e. 
_V
162161a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  e.  _V )
163 txrest 17327 . . . . . 6  |-  ( ( ( O  e.  Top  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  /\  ( ( B [,] C )  e.  _V  /\  X  e.  ( Clsd `  J ) ) )  ->  ( ( O 
tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( B [,] C ) )  tX  ( Jt  X ) ) )
164139, 26, 162, 33, 163syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  =  ( ( Ot  ( B [,] C ) ) 
tX  ( Jt  X ) ) )
165 restabs 16898 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  ( B [,] C ) 
C_  ( A [,] C )  /\  ( A [,] C )  e. 
_V )  ->  (
( Rt  ( A [,] C ) )t  ( B [,] C ) )  =  ( Rt  ( B [,] C ) ) )
166144, 40, 145, 165syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Rt  ( A [,] C ) )t  ( B [,] C ) )  =  ( Rt  ( B [,] C ) ) )
16723oveq1i 5870 . . . . . . 7  |-  ( Ot  ( B [,] C ) )  =  ( ( Rt  ( A [,] C
) )t  ( B [,] C ) )
168166, 167, 853eqtr4g 2342 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Ot  ( B [,] C ) )  =  N )
169168, 153oveq12d 5878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ot  ( B [,] C ) ) 
tX  ( Jt  X ) )  =  ( N 
tX  J ) )
170164, 169eqtrd 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O  tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  =  ( N  tX  J
) )
171170oveq1d 5875 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O 
tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  Cn  K )  =  ( ( N  tX  J )  Cn  K
) )
172160, 171eleqtrrd 2362 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C
) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  |`  ( ( B [,] C )  X.  X
) )  e.  ( ( ( O  tX  J )t  ( ( B [,] C )  X.  X ) )  Cn  K ) )
1731, 2, 35, 45, 58, 128, 157, 172paste 17024 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] C ) ,  y  e.  X  |->  if ( x  <_  B ,  D ,  E ) )  e.  ( ( O  tX  J )  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   _Vcvv 2790    u. cun 3152    C_ wss 3154   ifcif 3567   U.cuni 3829   class class class wbr 4025    X. cxp 4689   ran crn 4692    |` cres 4693   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    e. cmpt2 5862   RRcr 8738    <_ cle 8870   (,)cioo 10658   [,]cicc 10661   ↾t crest 13327   topGenctg 13344   Topctop 16633  TopOnctopon 16634   Clsdccld 16755    Cn ccn 16956    tX ctx 17257
This theorem is referenced by:  htpycc  18480  pcocn  18517  pcohtpylem  18519  pcopt  18522  pcopt2  18523  pcoass  18524  pcorevlem  18526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-ioo 10662  df-icc 10665  df-rest 13329  df-topgen 13346  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-cld 16758  df-cn 16959  df-tx 17259
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