Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2pc Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2pc 18945
 Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt2pc.r
cnmpt2pc.m t
cnmpt2pc.n t
cnmpt2pc.o t
cnmpt2pc.a
cnmpt2pc.c
cnmpt2pc.b
cnmpt2pc.j TopOn
cnmpt2pc.q
cnmpt2pc.d
cnmpt2pc.e
Assertion
Ref Expression
cnmpt2pc
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem cnmpt2pc
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . 2
2 eqid 2435 . 2
3 cnmpt2pc.a . . . . . 6
4 cnmpt2pc.c . . . . . 6
5 iccssre 10984 . . . . . 6
63, 4, 5syl2anc 643 . . . . 5
7 cnmpt2pc.b . . . . . . . 8
86, 7sseldd 3341 . . . . . . 7
9 icccld 18793 . . . . . . 7
103, 8, 9syl2anc 643 . . . . . 6
11 cnmpt2pc.r . . . . . . 7
1211fveq2i 5723 . . . . . 6
1310, 12syl6eleqr 2526 . . . . 5
14 ssun1 3502 . . . . . 6
15 iccsplit 11021 . . . . . . 7
163, 4, 7, 15syl3anc 1184 . . . . . 6
1714, 16syl5sseqr 3389 . . . . 5
18 uniretop 18788 . . . . . . 7
1911unieqi 4017 . . . . . . 7
2018, 19eqtr4i 2458 . . . . . 6
2120restcldi 17229 . . . . 5 t
226, 13, 17, 21syl3anc 1184 . . . 4 t
23 cnmpt2pc.o . . . . 5 t
2423fveq2i 5723 . . . 4 t
2522, 24syl6eleqr 2526 . . 3
26 cnmpt2pc.j . . . . 5 TopOn
27 toponuni 16984 . . . . 5 TopOn
2826, 27syl 16 . . . 4
29 topontop 16983 . . . . 5 TopOn
30 eqid 2435 . . . . . 6
3130topcld 17091 . . . . 5
3226, 29, 313syl 19 . . . 4
3328, 32eqeltrd 2509 . . 3
34 txcld 17627 . . 3
3525, 33, 34syl2anc 643 . 2
36 icccld 18793 . . . . . . 7
378, 4, 36syl2anc 643 . . . . . 6
3837, 12syl6eleqr 2526 . . . . 5
39 ssun2 3503 . . . . . 6
4039, 16syl5sseqr 3389 . . . . 5
4120restcldi 17229 . . . . 5 t
426, 38, 40, 41syl3anc 1184 . . . 4 t
4342, 24syl6eleqr 2526 . . 3
44 txcld 17627 . . 3
4543, 33, 44syl2anc 643 . 2
4616xpeq1d 4893 . . . 4
47 xpundir 4923 . . . 4
4846, 47syl6eq 2483 . . 3
49 retopon 18789 . . . . . . . 8 TopOn
5011, 49eqeltri 2505 . . . . . . 7 TopOn
51 resttopon 17217 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
5250, 6, 51sylancr 645 . . . . . 6 t TopOn
5323, 52syl5eqel 2519 . . . . 5 TopOn
54 txtopon 17615 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
5553, 26, 54syl2anc 643 . . . 4 TopOn
56 toponuni 16984 . . . 4 TopOn
5755, 56syl 16 . . 3
5848, 57eqtr3d 2469 . 2
59 cnmpt2pc.m . . . . . . . . . 10 t
6017, 6sstrd 3350 . . . . . . . . . . 11
61 resttopon 17217 . . . . . . . . . . 11 TopOn t TopOn
6250, 60, 61sylancr 645 . . . . . . . . . 10 t TopOn
6359, 62syl5eqel 2519 . . . . . . . . 9 TopOn
64 txtopon 17615 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
6563, 26, 64syl2anc 643 . . . . . . . 8 TopOn
66 cnmpt2pc.d . . . . . . . . . 10
67 cntop2 17297 . . . . . . . . . 10
6866, 67syl 16 . . . . . . . . 9
692toptopon 16990 . . . . . . . . 9 TopOn
7068, 69sylib 189 . . . . . . . 8 TopOn
71 elicc2 10967 . . . . . . . . . . . . . . 15
723, 8, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
7372biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13
7473simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12
75743adant3 977 . . . . . . . . . . 11
76 iftrue 3737 . . . . . . . . . . 11
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . 10
7877mpt2eq3dva 6130 . . . . . . . . 9
7978, 66eqeltrd 2509 . . . . . . . 8
80 cnf2 17305 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
8165, 70, 79, 80syl3anc 1184 . . . . . . 7
82 eqid 2435 . . . . . . . 8
8382fmpt2 6410 . . . . . . 7
8481, 83sylibr 204 . . . . . 6
85 cnmpt2pc.n . . . . . . . . . 10 t
8640, 6sstrd 3350 . . . . . . . . . . 11
87 resttopon 17217 . . . . . . . . . . 11 TopOn t TopOn
8850, 86, 87sylancr 645 . . . . . . . . . 10 t TopOn
8985, 88syl5eqel 2519 . . . . . . . . 9 TopOn
90 txtopon 17615 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
9189, 26, 90syl2anc 643 . . . . . . . 8 TopOn
92 elicc2 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
938, 4, 92syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9493biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9594simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . 14
9794simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . 15
988adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
9997, 98letri3d 9207 . . . . . . . . . . . . . 14
10096, 99bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . 13
1011003adant3 977 . . . . . . . . . . . 12
102 cnmpt2pc.q . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103102ancom2s 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104103ifeq1d 3745 . . . . . . . . . . . . . . 15
105 ifid 3763 . . . . . . . . . . . . . . 15
106104, 105syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . 14
107106expr 599 . . . . . . . . . . . . 13
1081073adant2 976 . . . . . . . . . . . 12
109101, 108sylbid 207 . . . . . . . . . . 11
110 iffalse 3738 . . . . . . . . . . 11
111109, 110pm2.61d1 153 . . . . . . . . . 10
112111mpt2eq3dva 6130 . . . . . . . . 9
113 cnmpt2pc.e . . . . . . . . 9
114112, 113eqeltrd 2509 . . . . . . . 8
115 cnf2 17305 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
11691, 70, 114, 115syl3anc 1184 . . . . . . 7
117 eqid 2435 . . . . . . . 8
118117fmpt2 6410 . . . . . . 7
119116, 118sylibr 204 . . . . . 6
120 ralun 3521 . . . . . 6
12184, 119, 120syl2anc 643 . . . . 5
12216raleqdv 2902 . . . . 5
123121, 122mpbird 224 . . . 4
124 eqid 2435 . . . . 5
125124fmpt2 6410 . . . 4
126123, 125sylib 189 . . 3
12757feq2d 5573 . . 3
128126, 127mpbid 202 . 2
129 ssid 3359 . . . 4
130 resmpt2 6160 . . . 4
13117, 129, 130sylancl 644 . . 3
132 retop 18787 . . . . . . . . . 10
13311, 132eqeltri 2505 . . . . . . . . 9
134 ovex 6098 . . . . . . . . 9
135 resttop 17216 . . . . . . . . 9 t
136133, 134, 135mp2an 654 . . . . . . . 8 t
13723, 136eqeltri 2505 . . . . . . 7
138137a1i 11 . . . . . 6
139 ovex 6098 . . . . . . 7
140139a1i 11 . . . . . 6
141 txrest 17655 . . . . . 6 TopOn t t t
142138, 26, 140, 33, 141syl22anc 1185 . . . . 5 t t t
143133a1i 11 . . . . . . . 8
144134a1i 11 . . . . . . . 8
145 restabs 17221 . . . . . . . 8 t t t
146143, 17, 144, 145syl3anc 1184 . . . . . . 7 t t t
14723oveq1i 6083 . . . . . . 7 t t t
148146, 147, 593eqtr4g 2492 . . . . . 6 t
14928oveq2d 6089 . . . . . . 7 t t
15030restid 13653 . . . . . . . 8 TopOn t
15126, 150syl 16 . . . . . . 7 t
152149, 151eqtrd 2467 . . . . . 6 t
153148, 152oveq12d 6091 . . . . 5 t t
154142, 153eqtrd 2467 . . . 4 t
155154oveq1d 6088 . . 3 t
15679, 131, 1553eltr4d 2516 . 2 t
157 resmpt2 6160 . . . 4
15840, 129, 157sylancl 644 . . 3
159 ovex 6098 . . . . . . 7
160159a1i 11 . . . . . 6
161 txrest 17655 . . . . . 6 TopOn t t t
162138, 26, 160, 33, 161syl22anc 1185 . . . . 5 t t t
163 restabs 17221 . . . . . . . 8 t t t
164143, 40, 144, 163syl3anc 1184 . . . . . . 7 t t t
16523oveq1i 6083 . . . . . . 7 t t t
166164, 165, 853eqtr4g 2492 . . . . . 6 t
167166, 152oveq12d 6091 . . . . 5 t t
168162, 167eqtrd 2467 . . . 4 t
169168oveq1d 6088 . . 3 t
170114, 158, 1693eltr4d 2516 . 2 t
1711, 2, 35, 45, 58, 128, 156, 170paste 17350 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   cun 3310   wss 3312  cif 3731  cuni 4007   class class class wbr 4204   cxp 4868   crn 4871   cres 4872  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cr 8981   cle 9113  cioo 10908  cicc 10911   ↾t crest 13640  ctg 13657  ctop 16950  TopOnctopon 16951  ccld 17072   ccn 17280   ctx 17584 This theorem is referenced by:  htpycc  18997  pcocn  19034  pcohtpylem  19036  pcopt  19039  pcopt2  19040  pcoass  19041  pcorevlem  19043 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-ioo 10912  df-icc 10915  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-cn 17283  df-tx 17586
 Copyright terms: Public domain W3C validator