MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptid Unicode version

Theorem cnmptid 17349
Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptid  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X
Dummy variable  y is distinct from all other variables.

Proof of Theorem cnmptid
StepHypRef Expression
1 equcom 1648 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
21opabbii 4084 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  x  =  y }  =  { <. x ,  y
>.  |  y  =  x }
3 dfid3 4309 . . . . 5  |-  _I  =  { <. x ,  y
>.  |  x  =  y }
4 mptv 4113 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  |->  x )  =  { <. x ,  y >.  |  y  =  x }
52, 3, 43eqtr4i 2314 . . . 4  |-  _I  =  ( x  e.  _V  |->  x )
65reseq1i 4950 . . 3  |-  (  _I  |`  X )  =  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )
7 ssv 3199 . . . 4  |-  X  C_  _V
8 resmpt 4999 . . . 4  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x ) )
97, 8ax-mp 10 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
106, 9eqtri 2304 . 2  |-  (  _I  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
11 cnmptid.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
12 idcn 16981 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1311, 12syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1410, 13syl5eqelr 2369 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1624    e. wcel 1685   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   {copab 4077    e. cmpt 4078    _I cid 4303    |` cres 4690   ` cfv 5221  (class class class)co 5819  TopOnctopon 16626    Cn ccn 16948
This theorem is referenced by:  xkoinjcn  17375  txcon  17377  pt1hmeo  17491  istgp2  17768  tmdmulg  17769  tmdlactcn  17779  clsnsg  17786  tgpt0  17795  tlmtgp  17872  nmcn  18343  expcn  18370  divccn  18371  cncfmptid  18410  cdivcncf  18414  iirevcn  18422  iihalf1cn  18424  iihalf2cn  18426  icchmeo  18433  evth2  18452  pcocn  18509  pcopt  18514  pcopt2  18515  pcoass  18516  csscld  18670  clsocv  18671  dvcnvlem  19317  resqrcn  20083  sqrcn  20084  efrlim  20258  ipasslem7  21406  occllem  21874  hmopidmchi  22723  cvxpcon  23177  cvmlift2lem2  23239  cvmlift2lem3  23240  cvmliftphtlem  23252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-map 6769  df-top 16630  df-topon 16633  df-cn 16951
  Copyright terms: Public domain W3C validator