MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptid Unicode version

Theorem cnmptid 17317
Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptid  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X

Proof of Theorem cnmptid
StepHypRef Expression
1 equcom 1824 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
21opabbii 4057 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  x  =  y }  =  { <. x ,  y
>.  |  y  =  x }
3 dfid3 4282 . . . . 5  |-  _I  =  { <. x ,  y
>.  |  x  =  y }
4 mptv 4086 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  |->  x )  =  { <. x ,  y >.  |  y  =  x }
52, 3, 43eqtr4i 2288 . . . 4  |-  _I  =  ( x  e.  _V  |->  x )
65reseq1i 4939 . . 3  |-  (  _I  |`  X )  =  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )
7 ssv 3173 . . . 4  |-  X  C_  _V
8 resmpt 4988 . . . 4  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x ) )
97, 8ax-mp 10 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
106, 9eqtri 2278 . 2  |-  (  _I  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
11 cnmptid.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
12 idcn 16949 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1311, 12syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1410, 13syl5eqelr 2343 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   {copab 4050    e. cmpt 4051    _I cid 4276    |` cres 4663   ` cfv 4673  (class class class)co 5792  TopOnctopon 16594    Cn ccn 16916
This theorem is referenced by:  xkoinjcn  17343  txcon  17345  pt1hmeo  17459  istgp2  17736  tmdmulg  17737  tmdlactcn  17747  clsnsg  17754  tgpt0  17763  tlmtgp  17840  nmcn  18311  expcn  18338  divccn  18339  cncfmptid  18378  cdivcncf  18382  iirevcn  18390  iihalf1cn  18392  iihalf2cn  18394  icchmeo  18401  evth2  18420  pcocn  18477  pcopt  18482  pcopt2  18483  pcoass  18484  csscld  18638  clsocv  18639  dvcnvlem  19285  resqrcn  20051  sqrcn  20052  efrlim  20226  ipasslem7  21374  occllem  21842  hmopidmchi  22691  cvxpcon  23145  cvmlift2lem2  23207  cvmlift2lem3  23208  cvmliftphtlem  23220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-map 6742  df-top 16598  df-topon 16601  df-cn 16919
  Copyright terms: Public domain W3C validator