MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptid Structured version   Unicode version

Theorem cnmptid 17693
Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptid  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X

Proof of Theorem cnmptid
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equcom 1692 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
21opabbii 4272 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  x  =  y }  =  { <. x ,  y
>.  |  y  =  x }
3 dfid3 4499 . . . . 5  |-  _I  =  { <. x ,  y
>.  |  x  =  y }
4 mptv 4301 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  |->  x )  =  { <. x ,  y >.  |  y  =  x }
52, 3, 43eqtr4i 2466 . . . 4  |-  _I  =  ( x  e.  _V  |->  x )
65reseq1i 5142 . . 3  |-  (  _I  |`  X )  =  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )
7 ssv 3368 . . . 4  |-  X  C_  _V
8 resmpt 5191 . . . 4  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x ) )
97, 8ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
106, 9eqtri 2456 . 2  |-  (  _I  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
11 cnmptid.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
12 idcn 17321 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1410, 13syl5eqelr 2521 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   {copab 4265    e. cmpt 4266    _I cid 4493    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081  TopOnctopon 16959    Cn ccn 17288
This theorem is referenced by:  xkoinjcn  17719  txcon  17721  imasnopn  17722  imasncld  17723  imasncls  17724  pt1hmeo  17838  istgp2  18121  tmdmulg  18122  tmdlactcn  18132  clsnsg  18139  tgpt0  18148  tlmtgp  18225  nmcn  18875  expcn  18902  divccn  18903  cncfmptid  18942  cdivcncf  18947  iirevcn  18955  iihalf1cn  18957  iihalf2cn  18959  icchmeo  18966  evth2  18985  pcocn  19042  pcopt  19047  pcopt2  19048  pcoass  19049  csscld  19203  clsocv  19204  dvcnvlem  19860  resqrcn  20633  sqrcn  20634  efrlim  20808  ipasslem7  22337  occllem  22805  hmopidmchi  23654  rmulccn  24314  cvxpcon  24929  cvmlift2lem2  24991  cvmlift2lem3  24992  cvmliftphtlem  25004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-top 16963  df-topon 16966  df-cn 17291
  Copyright terms: Public domain W3C validator