MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnv Unicode version

Theorem cnnv 21237
Description: The set of complex numbers is a normed complex vector space. The vector operation is  +, the scalar product is  x., and the norm function is  abs. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnv.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cnnv  |-  U  e.  NrmCVec
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem cnnv
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 21009 . . . 4  |-  +  e.  AbelOp
2 ablogrpo 20943 . . . 4  |-  (  +  e.  AbelOp  ->  +  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 10 . . 3  |-  +  e.  GrpOp
4 ax-addf 8811 . . . 4  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
54fdmi 5359 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
63, 5grporn 20871 . 2  |-  CC  =  ran  +
7 cnid 21010 . 2  |-  0  =  (GId `  +  )
8 cncvc 21131 . 2  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD
9 absf 11815 . 2  |-  abs : CC
--> RR
10 abs00 11768 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( abs `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
1110biimpa 472 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  =  0 )  ->  x  =  0 )
12 absmul 11773 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( abs `  (
y  x.  x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( abs `  x
) ) )
13 abstri 11808 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  +  y ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  y
) ) )
14 cnnv.6 . 2  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
156, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14isnvi 21161 1  |-  U  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1624    e. wcel 1685   <.cop 3644    X. cxp 4686   ` cfv 5221   CCcc 8730   0cc0 8732    + caddc 8735    x. cmul 8737   abscabs 11713   GrpOpcgr 20845   AbelOpcablo 20940   NrmCVeccnv 21132
This theorem is referenced by:  cnnvdemo  21240  cnnvm  21243  elimnvu  21245  cnims  21258  cncph  21389  ipblnfi  21426  cnbn  21440  htthlem  21489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-rp 10350  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ablo 20941  df-vc 21094  df-nv 21140
  Copyright terms: Public domain W3C validator