MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnv Unicode version

Theorem cnnv 21300
Description: The set of complex numbers is a normed complex vector space. The vector operation is  +, the scalar product is  x., and the norm function is  abs. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnv.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cnnv  |-  U  e.  NrmCVec

Proof of Theorem cnnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 21070 . . . 4  |-  +  e.  AbelOp
2 ablogrpo 21004 . . . 4  |-  (  +  e.  AbelOp  ->  +  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  +  e.  GrpOp
4 ax-addf 8861 . . . 4  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
54fdmi 5432 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
63, 5grporn 20932 . 2  |-  CC  =  ran  +
7 cnid 21071 . 2  |-  0  =  (GId `  +  )
8 cncvc 21194 . 2  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD
9 absf 11868 . 2  |-  abs : CC
--> RR
10 abs00 11821 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( abs `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
1110biimpa 470 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  =  0 )  ->  x  =  0 )
12 absmul 11826 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( abs `  (
y  x.  x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( abs `  x
) ) )
13 abstri 11861 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  +  y ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  y
) ) )
14 cnnv.6 . 2  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
156, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14isnvi 21224 1  |-  U  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1633    e. wcel 1701   <.cop 3677    X. cxp 4724   ` cfv 5292   CCcc 8780   0cc0 8782    + caddc 8785    x. cmul 8787   abscabs 11766   GrpOpcgr 20906   AbelOpcablo 21001   NrmCVeccnv 21195
This theorem is referenced by:  cnnvdemo  21303  cnnvm  21306  elimnvu  21308  cnims  21321  cncph  21452  ipblnfi  21489  cnbn  21503  htthlem  21552
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-grpo 20911  df-gid 20912  df-ablo 21002  df-vc 21157  df-nv 21203
  Copyright terms: Public domain W3C validator