MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnv Structured version   Unicode version

Theorem cnnv 22168
Description: The set of complex numbers is a normed complex vector space. The vector operation is  +, the scalar product is  x., and the norm function is  abs. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnv.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cnnv  |-  U  e.  NrmCVec

Proof of Theorem cnnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 21938 . . . 4  |-  +  e.  AbelOp
2 ablogrpo 21872 . . . 4  |-  (  +  e.  AbelOp  ->  +  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  +  e.  GrpOp
4 ax-addf 9069 . . . 4  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
54fdmi 5596 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
63, 5grporn 21800 . 2  |-  CC  =  ran  +
7 cnid 21939 . 2  |-  0  =  (GId `  +  )
8 cncvc 22062 . 2  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD
9 absf 12141 . 2  |-  abs : CC
--> RR
10 abs00 12094 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( abs `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
1110biimpa 471 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  =  0 )  ->  x  =  0 )
12 absmul 12099 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( abs `  (
y  x.  x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( abs `  x
) ) )
13 abstri 12134 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  +  y ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  y
) ) )
14 cnnv.6 . 2  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
156, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14isnvi 22092 1  |-  U  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3817    X. cxp 4876   ` cfv 5454   CCcc 8988   0cc0 8990    + caddc 8993    x. cmul 8995   abscabs 12039   GrpOpcgr 21774   AbelOpcablo 21869   NrmCVeccnv 22063
This theorem is referenced by:  cnnvdemo  22171  cnnvm  22174  elimnvu  22176  cnims  22189  cncph  22320  ipblnfi  22357  cnbn  22371  htthlem  22420
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071
  Copyright terms: Public domain W3C validator