Theorem cnnvs 8307

Description: The scalar product operation of the normed complex vector space of complex numbers.

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvs.6	|- U = <.<. + , x. >., abs>.

Assertion

Ref	Expression
cnnvs	|- x. = (.s` U)

Proof of Theorem cnnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . 3 |- (.s` U) = (.s` U)
2	1	smfval 8220	. 2 |- (.s` U) = (2nd` (1st` U))
3		cnnvs.6	. . . . 5 |- U = <.<. + , x. >., abs>.
4	3	fveq2i 3733	. . . 4 |- (1st` U) = (1st` <.<. + , x. >., abs>.)
5		opex 2788	. . . . 5 |- <. + , x. >. e. V
6	5	op1st 4091	. . . 4 |- (1st` <.<. + , x. >., abs>.) = <. + , x. >.
7	4, 6	eqtr 1498	. . 3 |- (1st` U) = <. + , x. >.
8	7	fveq2i 3733	. 2 |- (2nd` (1st` U)) = (2nd` <. + , x. >.)
9		addex 5329	. . 3 |- + e. V
10		mulex 5330	. . 3 |- x. e. V
11	9, 10	op2nd 4092	. 2 |- (2nd` <. + , x. >.) = x.
12	2, 8, 11	3eqtrr 1503	1 |- x. = (.s` U)

Syntax hints:   = wceq 958  <.cop 2415  ` cfv 3188  1stc1st 4083  2ndc2nd 4084   + caddc 5249   x. cmul 5251  abscabs 6751  .scns 8202

This theorem is referenced by:  cnnvm 8309  ipblnfi 8512

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-m1r 5185  df-c 5252  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sm 8212

Copyright terms: Public domain