Theorem cnpcl 7761

Description: The value of a continuous function from J to K at point P belongs to the underlying set of topology K. (Contributed by FL, 31-Dec-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	|- X = U.J
iscnp2.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cnpcl	|- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ (F e. ((J CnP K)` P) /\ A e. X)) -> (F` A) e. Y)

Proof of Theorem cnpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3820	. 2 |- ((F:X-->Y /\ A e. X) -> (F` A) e. Y)
2		iscnp2.1	. . . 4 |- X = U.J
3		iscnp2.2	. . . 4 |- Y = U.K
4	2, 3	cnpf 7760	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> F:X-->Y)
5	4	adantrr 397	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ (F e. ((J CnP K)` P) /\ A e. X)) -> F:X-->Y)
6		simprr 417	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ (F e. ((J CnP K)` P) /\ A e. X)) -> A e. X)
7	1, 5, 6	sylanc 473	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ (F e. ((J CnP K)` P) /\ A e. X)) -> (F` A) e. Y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  U.cuni 2507  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  Topctop 7590   CnP ccnp 7750

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-map 4330  df-cnp 7752

Copyright terms: Public domain