Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpco Unicode version

Theorem cnpco 17012
 Description: The composition of two continuous functions at point is a continuous function at point . Proposition of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnpco

Proof of Theorem cnpco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 16988 . . . 4
21adantr 451 . . 3
3 cnptop2 16989 . . . 4
43adantl 452 . . 3
5 eqid 2296 . . . . 5
65cnprcl 16991 . . . 4
76adantr 451 . . 3
82, 4, 73jca 1132 . 2
9 eqid 2296 . . . . . 6
10 eqid 2296 . . . . . 6
119, 10cnpf 16993 . . . . 5
1211adantl 452 . . . 4
135, 9cnpf 16993 . . . . 5
1413adantr 451 . . . 4
15 fco 5414 . . . 4
1612, 14, 15syl2anc 642 . . 3
17 simplr 731 . . . . . . 7
18 simprl 732 . . . . . . 7
19 fvco3 5612 . . . . . . . . . 10
2014, 7, 19syl2anc 642 . . . . . . . . 9
2120adantr 451 . . . . . . . 8
22 simprr 733 . . . . . . . 8
2321, 22eqeltrrd 2371 . . . . . . 7
24 cnpimaex 17002 . . . . . . 7
2517, 18, 23, 24syl3anc 1182 . . . . . 6
26 simplll 734 . . . . . . . . . 10
27 simprl 732 . . . . . . . . . 10
28 simprrl 740 . . . . . . . . . 10
29 cnpimaex 17002 . . . . . . . . . 10
3026, 27, 28, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
31 imaco 5194 . . . . . . . . . . . . 13
32 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . 13
3331, 32syl5eqss 3235 . . . . . . . . . . . 12
34 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . 13
35 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . 13
3634, 35syl5com 26 . . . . . . . . . . . 12
3733, 36syl5 28 . . . . . . . . . . 11
3837anim2d 548 . . . . . . . . . 10
3938reximdv 2667 . . . . . . . . 9
4030, 39mpd 14 . . . . . . . 8
4140expr 598 . . . . . . 7
4241rexlimdva 2680 . . . . . 6
4325, 42mpd 14 . . . . 5
4443expr 598 . . . 4
4544ralrimiva 2639 . . 3
4616, 45jca 518 . 2
475, 10iscnp2 16985 . 2
488, 46, 47sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557   wss 3165  cuni 3843  cima 4708   ccom 4709  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  ctop 16647   ccnp 16971 This theorem is referenced by:  limccnp  19257  limccnp2  19258  efrlim  20280 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cnp 16974
 Copyright terms: Public domain W3C validator