Theorem cnpf 7763

Description: A continuous function at point P is a mapping. (Contributed by FL, 31-Dec-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	|- X = U.J
iscnp2.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cnpf	|- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> F:X-->Y)

Proof of Theorem cnpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . 3 |- X = U.J
2		iscnp2.2	. . 3 |- Y = U.K
3	1, 2	iscnp 7760	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.x e. K ((F` P) e. x -> E.y e. J (P e. y /\ (F"y) (_ x)))))
4	3	pm3.26bda 420	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> F:X-->Y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  U.cuni 2503  "cima 3173  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Topctop 7588   CnP ccnp 7753

This theorem is referenced by:  cnpcl 7764  cnpco 7769  cncnp2 7779  metcnpf 7883  metcn 7889

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-cnp 7755

Copyright terms: Public domain