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Theorem cnpflf2 17695
Description:  F is continous at point  A iff a limit of  F when  x tends to  A is  ( F `  A ). Proposition 9 of [BourbakiTop1] p. TG I.50. (Contributed by FL, 29-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnpflf2.3  |-  L  =  ( ( nei `  J
) `  { A } )
Assertion
Ref Expression
cnpflf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) ) ) )

Proof of Theorem cnpflf2
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 16980 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F : X
--> Y )
213expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
323adantl3 1113 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
4 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  X )
6 neiflim 17669 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ( J  fLim  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) )
7 cnpflf2.3 . . . . . . 7  |-  L  =  ( ( nei `  J
) `  { A } )
87oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( J 
fLim  L )  =  ( J  fLim  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )
96, 8syl6eleqr 2374 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ( J  fLim  L
) )
104, 5, 9syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  L ) )
11 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
12 cnpflfi 17694 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )
1310, 11, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )
143, 13jca 518 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F ) ) )
15 simpl1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
16 topontop 16664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  Top )
18 simpl3 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  A  e.  X )
19 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2015, 19syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  X  =  U. J )
2118, 20eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  A  e.  U. J )
227eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  L  <->  z  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
23 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
2423isneip 16842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  U. J )  ->  ( z  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( z  C_ 
U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) ) ) )
2522, 24syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  U. J )  ->  ( z  e.  L  <->  ( z  C_  U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) ) ) )
2617, 21, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
z  e.  L  <->  ( z  C_ 
U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) ) ) )
27 imass2 5049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v 
C_  z  ->  ( F " v )  C_  ( F " z ) )
28 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F " v ) 
C_  ( F "
z )  ->  (
( F " z
)  C_  u  ->  ( F " v ) 
C_  u ) )
2928com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  (
( F " v
)  C_  ( F " z )  ->  ( F " v )  C_  u ) )
3027, 29syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  (
v  C_  z  ->  ( F " v ) 
C_  u ) )
3130anim2d 548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  (
( A  e.  v  /\  v  C_  z
)  ->  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
3231reximdv 2654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  ( E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z )  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
3332com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z )  -> 
( ( F "
z )  C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
3433adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) )  ->  ( ( F
" z )  C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
3526, 34syl6bi 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
z  e.  L  -> 
( ( F "
z )  C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
3635rexlimdv 2666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
3736imim2d 48 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u )  -> 
( ( F `  A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
3837ralimdv 2622 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u )  ->  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
39 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  F : X --> Y )
4038, 39jctild 527 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u )  -> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
4140adantld 453 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( ( F `  A )  e.  Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u ) )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
42 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
4318snssd 3760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  { A }  C_  X )
44 snnzg 3743 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  =/=  (/) )
4518, 44syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  { A }  =/=  (/) )
46 neifil 17575 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X ) )
4715, 43, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X ) )
487, 47syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
49 isflf 17688 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <->  ( ( F `  A )  e.  Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z )  C_  u
) ) ) )
5042, 48, 39, 49syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <->  ( ( F `  A )  e.  Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z )  C_  u
) ) ) )
51 iscnp 16967 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
5251adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  (
( F `  A
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
5341, 50, 523imtr4d 259 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )
5453impr 602 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  ( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
5514, 54impbida 805 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   neicnei 16834    CnP ccnp 16955   Filcfil 17540    fLim cflim 17629    fLimf cflf 17630
This theorem is referenced by:  cnpflf  17696  conttnf2  25562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-cnp 16958  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635
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