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Theorem cnpflf2 17527
Description:  F is continous at point  A iff a limit of  F when  x tends to  A is  ( F `  A ). Proposition 9 of [BourbakiTop1] p. TG I.50. (Contributed by FL, 29-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnpflf2.3  |-  L  =  ( ( nei `  J
) `  { A } )
Assertion
Ref Expression
cnpflf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) ) ) )

Proof of Theorem cnpflf2
StepHypRef Expression
1 cnpf2 16812 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F : X
--> Y )
213expa 1156 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
323adantl3 1118 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X
--> Y )
4 simpl1 963 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 simpl3 965 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  X )
6 neiflim 17501 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ( J  fLim  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) )
7 cnpflf2.3 . . . . . . 7  |-  L  =  ( ( nei `  J
) `  { A } )
87oveq2i 5721 . . . . . 6  |-  ( J 
fLim  L )  =  ( J  fLim  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )
96, 8syl6eleqr 2344 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ( J  fLim  L
) )
104, 5, 9syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  L ) )
11 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
12 cnpflfi 17526 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  L )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )
1310, 11, 12syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) )
143, 13jca 520 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F ) ) )
15 simpl1 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
16 topontop 16496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  Top )
18 simpl3 965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  A  e.  X )
19 toponuni 16497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  X  =  U. J )
2118, 20eleqtrd 2329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  A  e.  U. J )
227eleq2i 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  L  <->  z  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
23 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
2423isneip 16674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  U. J )  ->  ( z  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( z  C_ 
U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) ) ) )
2522, 24syl5bb 250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  U. J )  ->  ( z  e.  L  <->  ( z  C_  U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) ) ) )
2617, 21, 25syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
z  e.  L  <->  ( z  C_ 
U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) ) ) )
27 imass2 4956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v 
C_  z  ->  ( F " v )  C_  ( F " z ) )
28 sstr2 3107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F " v ) 
C_  ( F "
z )  ->  (
( F " z
)  C_  u  ->  ( F " v ) 
C_  u ) )
2928com12 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  (
( F " v
)  C_  ( F " z )  ->  ( F " v )  C_  u ) )
3027, 29syl5 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  (
v  C_  z  ->  ( F " v ) 
C_  u ) )
3130anim2d 550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  (
( A  e.  v  /\  v  C_  z
)  ->  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
3231reximdv 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " z ) 
C_  u  ->  ( E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z )  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
3332com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z )  -> 
( ( F "
z )  C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
3433adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  U. J  /\  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  v  C_  z ) )  ->  ( ( F
" z )  C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
3526, 34syl6bi 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
z  e.  L  -> 
( ( F "
z )  C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
3635rexlimdv 2628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
3736imim2d 50 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u )  -> 
( ( F `  A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
3837ralimdv 2584 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u )  ->  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
39 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  F : X --> Y )
4038, 39jctild 529 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u )  -> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
4140adantld 455 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( ( F `  A )  e.  Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  u ) )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
42 simpl2 964 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
4318snssd 3660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  { A }  C_  X )
44 snnzg 3647 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  =/=  (/) )
4518, 44syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  { A }  =/=  (/) )
46 neifil 17407 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X ) )
4715, 43, 45, 46syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X ) )
487, 47syl5eqel 2337 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
49 isflf 17520 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <->  ( ( F `  A )  e.  Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z )  C_  u
) ) ) )
5042, 48, 39, 49syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  <->  ( ( F `  A )  e.  Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  A )  e.  u  ->  E. z  e.  L  ( F " z )  C_  u
) ) ) )
51 iscnp 16799 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `
 A )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
5251adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  (
( F `  A
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( A  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
5341, 50, 523imtr4d 261 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( F `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )
5453impr 605 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  /\  ( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  F ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
5514, 54impbida 808 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> Y  /\  ( F `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510    C_ wss 3078   (/)c0 3362   {csn 3544   U.cuni 3727   "cima 4583   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Topctop 16463  TopOnctopon 16464   neicnei 16666    CnP ccnp 16787   Filcfil 17372    fLim cflim 17461    fLimf cflf 17462
This theorem is referenced by:  cnpflf  17528  conttnf2  24728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-map 6660  df-top 16468  df-topon 16471  df-ntr 16589  df-nei 16667  df-cnp 16790  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467
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