Theorem cnpimaex 7744

Description: Property of a function continuous at a point. (Contributed by FL, 31-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnpimaex.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
cnpimaex	|- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ (F e. ((J CnP K)` P) /\ A e. K /\ (F` P) e. A)) -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ A))

Distinct variable groups:   x,A   x,F   x,J   x,P

Proof of Theorem cnpimaex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpimaex.1	. . . . . 6 |- X = U.J
2		eqid 1475	. . . . . 6 |- U.K = U.K
3	1, 2	iscnp 7739	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->U.K /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))
4	3	pm3.27bda 421	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))
5	4	ex 373	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) -> A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))))
6		eleq2 1534	. . . . 5 |- (y = A -> ((F` P) e. y <-> (F` P) e. A))
7		sseq2 2081	. . . . . . 7 |- (y = A -> ((F"x) (_ y <-> (F"x) (_ A))
8	7	anbi2d 615	. . . . . 6 |- (y = A -> ((P e. x /\ (F"x) (_ y) <-> (P e. x /\ (F"x) (_ A)))
9	8	rexbidv 1663	. . . . 5 |- (y = A -> (E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y) <-> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ A)))
10	6, 9	imbi12d 625	. . . 4 |- (y = A -> (((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)) <-> ((F` P) e. A -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ A))))
11	10	rcla4cv 1872	. . 3 |- (A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)) -> (A e. K -> ((F` P) e. A -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ A))))
12	5, 11	syl6 22	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) -> (A e. K -> ((F` P) e. A -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ A)))))
13	12	3imp2 847	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) /\ (F e. ((J CnP K)` P) /\ A e. K /\ (F` P) e. A)) -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  E.wrex 1645   (_ wss 2045  U.cuni 2500  "cima 3170  -->wf 3175  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  Topctop 7567   CnP ccnp 7732

This theorem is referenced by:  cnpco 7748

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-map 4321  df-cnp 7734

Copyright terms: Public domain