MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrecnv Unicode version

Theorem cnrecnv 11898
Description: The inverse to the canonical bijection from  ( RR  X.  RR ) to  CC from cnref1o 10540. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrecnv.1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
Assertion
Ref Expression
cnrecnv  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
Distinct variable groups:    z, F    x, y, z
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem cnrecnv
StepHypRef Expression
1 cnrecnv.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
21cnref1o 10540 . . . . . 6  |-  F :
( RR  X.  RR )
-1-1-onto-> CC
3 f1ocnv 5628 . . . . . 6  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  `' F : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR ) )
4 f1of 5615 . . . . . 6  |-  ( `' F : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR )  ->  `' F : CC
--> ( RR  X.  RR ) )
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  `' F : CC --> ( RR  X.  RR )
65a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  `' F : CC --> ( RR 
X.  RR ) )
76feqmptd 5719 . . 3  |-  (  T. 
->  `' F  =  (
z  e.  CC  |->  ( `' F `  z ) ) )
87trud 1329 . 2  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  ( `' F `  z ) )
9 df-ov 6024 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  z ) F ( Im `  z ) )  =  ( F `  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
10 recl 11843 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Re `  z )  e.  RR )
11 imcl 11844 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Im `  z )  e.  RR )
12 oveq1 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
x  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  y
) ) )
13 oveq2 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
_i  x.  y )  =  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) )
1413oveq2d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
( Re `  z
)  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  (
Im `  z )
) ) )
15 ovex 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  z )  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) )  e.  _V
1612, 14, 1, 15ovmpt2 6149 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  z
)  e.  RR  /\  ( Im `  z )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  z ) F ( Im `  z ) )  =  ( ( Re `  z )  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) ) )
1710, 11, 16syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  ->  (
( Re `  z
) F ( Im
`  z ) )  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  (
Im `  z )
) ) )
189, 17syl5eqr 2434 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  ->  ( F `  <. ( Re
`  z ) ,  ( Im `  z
) >. )  =  ( ( Re `  z
)  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) ) )
19 replim 11849 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  ->  z  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  (
Im `  z )
) ) )
2018, 19eqtr4d 2423 . . . . 5  |-  ( z  e.  CC  ->  ( F `  <. ( Re
`  z ) ,  ( Im `  z
) >. )  =  z )
2120fveq2d 5673 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  ->  ( `' F `  ( F `
 <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. ) )  =  ( `' F `  z ) )
22 opelxpi 4851 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  z
)  e.  RR  /\  ( Im `  z )  e.  RR )  ->  <. ( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2310, 11, 22syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( z  e.  CC  ->  <. (
Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
24 f1ocnvfv1 5954 . . . . 5  |-  ( ( F : ( RR 
X.  RR ) -1-1-onto-> CC  /\  <.
( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )  ->  ( `' F `  ( F `
 <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. ) )  =  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
252, 23, 24sylancr 645 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  ->  ( `' F `  ( F `
 <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. ) )  =  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
2621, 25eqtr3d 2422 . . 3  |-  ( z  e.  CC  ->  ( `' F `  z )  =  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
2726mpteq2ia 4233 . 2  |-  ( z  e.  CC  |->  ( `' F `  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  <. (
Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
288, 27eqtri 2408 1  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cop 3761    e. cmpt 4208    X. cxp 4817   `'ccnv 4818   -->wf 5391   -1-1-onto->wf1o 5394   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    e. cmpt2 6023   CCcc 8922   RRcr 8923   _ici 8926    + caddc 8927    x. cmul 8929   Recre 11830   Imcim 11831
This theorem is referenced by:  cnrehmeo  18850  cnheiborlem  18851  mbfimaopnlem  19415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-2 9991  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834
  Copyright terms: Public domain W3C validator