Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnref1o Structured version   Unicode version

Theorem cnref1o 10607
 Description: There is a natural one-to-one mapping from to , where we map to . In our construction of the complex numbers, this is in fact our definition of (see df-c 8996), but in the axiomatic treatment we can only show that there is the expected mapping between these two sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnref1o.1
Assertion
Ref Expression
cnref1o
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cnref1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnref1o.1 . . . . 5
2 ovex 6106 . . . . 5
31, 2fnmpt2i 6420 . . . 4
4 1st2nd2 6386 . . . . . . . . 9
54fveq2d 5732 . . . . . . . 8
6 df-ov 6084 . . . . . . . 8
75, 6syl6eqr 2486 . . . . . . 7
8 xp1st 6376 . . . . . . . 8
9 xp2nd 6377 . . . . . . . 8
10 oveq1 6088 . . . . . . . . 9
11 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10
1211oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
13 ovex 6106 . . . . . . . . 9
1410, 12, 1, 13ovmpt2 6209 . . . . . . . 8
158, 9, 14syl2anc 643 . . . . . . 7
167, 15eqtrd 2468 . . . . . 6
178recnd 9114 . . . . . . 7
18 ax-icn 9049 . . . . . . . 8
199recnd 9114 . . . . . . . 8
20 mulcl 9074 . . . . . . . 8
2118, 19, 20sylancr 645 . . . . . . 7
2217, 21addcld 9107 . . . . . 6
2316, 22eqeltrd 2510 . . . . 5
2423rgen 2771 . . . 4
25 ffnfv 5894 . . . 4
263, 24, 25mpbir2an 887 . . 3
278, 9jca 519 . . . . . . 7
28 xp1st 6376 . . . . . . . 8
29 xp2nd 6377 . . . . . . . 8
3028, 29jca 519 . . . . . . 7
31 cru 9992 . . . . . . 7
3227, 30, 31syl2an 464 . . . . . 6
33 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
34 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10
35 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11
3635oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10
3734, 36oveq12d 6099 . . . . . . . . 9
3833, 37eqeq12d 2450 . . . . . . . 8
3938, 16vtoclga 3017 . . . . . . 7
4016, 39eqeqan12d 2451 . . . . . 6
41 1st2nd2 6386 . . . . . . . 8
424, 41eqeqan12d 2451 . . . . . . 7
43 fvex 5742 . . . . . . . 8
44 fvex 5742 . . . . . . . 8
4543, 44opth 4435 . . . . . . 7
4642, 45syl6bb 253 . . . . . 6
4732, 40, 463bitr4d 277 . . . . 5
4847biimpd 199 . . . 4
4948rgen2a 2772 . . 3
50 dff13 6004 . . 3
5126, 49, 50mpbir2an 887 . 2
52 cnre 9087 . . . . . 6
53 oveq1 6088 . . . . . . . . 9
54 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10
5554oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
56 ovex 6106 . . . . . . . . 9
5753, 55, 1, 56ovmpt2 6209 . . . . . . . 8
5857eqeq2d 2447 . . . . . . 7
59582rexbiia 2739 . . . . . 6
6052, 59sylibr 204 . . . . 5
61 fveq2 5728 . . . . . . . 8
62 df-ov 6084 . . . . . . . 8
6361, 62syl6eqr 2486 . . . . . . 7
6463eqeq2d 2447 . . . . . 6
6564rexxp 5017 . . . . 5
6660, 65sylibr 204 . . . 4
6766rgen 2771 . . 3
68 dffo3 5884 . . 3
6926, 67, 68mpbir2an 887 . 2
70 df-f1o 5461 . 2
7151, 69, 70mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  cop 3817   cxp 4876   wfn 5449  wf 5450  wf1 5451  wfo 5452  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  c1st 6347  c2nd 6348  cc 8988  cr 8989  ci 8992   caddc 8993   cmul 8995 This theorem is referenced by:  cnexALT  10608  cnrecnv  11970  cpnnen  12828  cnheiborlem  18979  mbfimaopnlem  19547 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678
 Copyright terms: Public domain W3C validator