MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrehmeo Unicode version

Theorem cnrehmeo 18850
Description: The canonical bijection from  ( RR  X.  RR ) to  CC described in cnref1o 10540 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if  ( RR  X.  RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
cnrehmeo.2  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnrehmeo.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnrehmeo  |-  F  e.  ( ( J  tX  J )  Homeo  K )
Distinct variable group:    x, y, K
Allowed substitution hints:    F( x, y)    J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeo
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 retopon 18669 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
42, 3eqeltri 2458 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
54a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  RR ) )
6 cnrehmeo.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtop 18690 . . . . . . 7  |-  K  e. 
Top
8 cnrest2r 17274 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
97, 8mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
105, 5cnmpt1st 17622 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
116tgioo2 18706 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
122, 11eqtri 2408 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  RR )
1312oveq2i 6032 . . . . . . 7  |-  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  =  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )
1410, 13syl6eleq 2478 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
159, 14sseldd 3293 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
166cnfldtopon 18689 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
18 ax-icn 8983 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
205, 5, 17, 19cnmpt2c 17624 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  _i )  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
215, 5cnmpt2nd 17623 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
2221, 13syl6eleq 2478 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
239, 22sseldd 3293 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
246mulcn 18769 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 17629 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( _i  x.  y
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
276addcn 18767 . . . . . 6  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2827a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 17629 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
301, 29syl5eqel 2472 . . 3  |-  (  T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
311cnrecnv 11898 . . . 4  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
32 ref 11845 . . . . . . . 8  |-  Re : CC
--> RR
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  Re : CC --> RR )
3433feqmptd 5719 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  Re  =  ( z  e.  CC  |->  ( Re
`  z ) ) )
35 recncf 18804 . . . . . . 7  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
36 ssid 3311 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
37 ax-resscn 8981 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3816toponunii 16921 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. K
3938restid 13589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Kt  CC )  =  K )
4016, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kt  CC )  =  K
4140eqcomi 2392 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Kt  CC )
426, 41, 12cncfcn 18811 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( K  Cn  J ) )
4336, 37, 42mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( K  Cn  J )
4435, 43eleqtri 2460 . . . . . 6  |-  Re  e.  ( K  Cn  J
)
4534, 44syl6eqelr 2477 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Re `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
46 imf 11846 . . . . . . . 8  |-  Im : CC
--> RR
4746a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  Im : CC --> RR )
4847feqmptd 5719 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  Im  =  ( z  e.  CC  |->  ( Im
`  z ) ) )
49 imcncf 18805 . . . . . . 7  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
5049, 43eleqtri 2460 . . . . . 6  |-  Im  e.  ( K  Cn  J
)
5148, 50syl6eqelr 2477 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Im `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
5217, 45, 51cnmpt1t 17619 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.
)  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
5331, 52syl5eqel 2472 . . 3  |-  (  T. 
->  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
54 ishmeo 17713 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J 
tX  J )  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) ) )
5530, 53, 54sylanbrc 646 . 2  |-  (  T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
)  Homeo  K ) )
5655trud 1329 1  |-  F  e.  ( ( J  tX  J )  Homeo  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3264   <.cop 3761    e. cmpt 4208   `'ccnv 4818   ran crn 4820   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    e. cmpt2 6023   CCcc 8922   RRcr 8923   _ici 8926    + caddc 8927    x. cmul 8929   (,)cioo 10849   Recre 11830   Imcim 11831   ↾t crest 13576   TopOpenctopn 13577   topGenctg 13593  ℂfldccnfld 16627   Topctop 16882  TopOnctopon 16883    Cn ccn 17211    tX ctx 17514    Homeo chmeo 17707   -cn->ccncf 18778
This theorem is referenced by:  cnheiborlem  18851  mbfimaopnlem  19415  tpr2rico  24115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780
  Copyright terms: Public domain W3C validator