MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrehmeo Unicode version

Theorem cnrehmeo 18447
Description: The canonical bijection from  ( RR  X.  RR ) to  CC described in cnref1o 10346 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if  ( RR  X.  RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
cnrehmeo.2  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnrehmeo.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnrehmeo  |-  F  e.  ( ( J  tX  J )  Homeo  K )
Distinct variable group:    x, y, K
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
Allowed substitution groups:    F( x, y)    J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeo
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 retopon 18268 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
42, 3eqeltri 2356 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
54a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  RR ) )
6 cnrehmeo.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtop 18289 . . . . . . 7  |-  K  e. 
Top
8 cnrest2r 17011 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
97, 8mp1i 13 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
105, 5cnmpt1st 17358 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
116tgioo2 18305 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
122, 11eqtri 2306 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  RR )
1312oveq2i 5832 . . . . . . 7  |-  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  =  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )
1410, 13syl6eleq 2376 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
159, 14sseldd 3184 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
166cnfldtopon 18288 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1716a1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
18 ax-icn 8793 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1918a1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
205, 5, 17, 19cnmpt2c 17360 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  _i )  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
215, 5cnmpt2nd 17359 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
2221, 13syl6eleq 2376 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
239, 22sseldd 3184 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
246mulcn 18367 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2524a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 17365 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( _i  x.  y
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
276addcn 18365 . . . . . 6  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2827a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 17365 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
301, 29syl5eqel 2370 . . 3  |-  (  T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
311cnrecnv 11646 . . . 4  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
32 ref 11593 . . . . . . . 8  |-  Re : CC
--> RR
3332a1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  Re : CC --> RR )
3433feqmptd 5538 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  Re  =  ( z  e.  CC  |->  ( Re
`  z ) ) )
35 recncf 18402 . . . . . . 7  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
36 ssid 3200 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
37 ax-resscn 8791 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3816toponunii 16666 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. K
3938restid 13334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Kt  CC )  =  K )
4016, 39ax-mp 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kt  CC )  =  K
4140eqcomi 2290 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Kt  CC )
426, 41, 12cncfcn 18409 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( K  Cn  J ) )
4336, 37, 42mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( K  Cn  J )
4435, 43eleqtri 2358 . . . . . 6  |-  Re  e.  ( K  Cn  J
)
4534, 44syl6eqelr 2375 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Re `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
46 imf 11594 . . . . . . . 8  |-  Im : CC
--> RR
4746a1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  Im : CC --> RR )
4847feqmptd 5538 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  Im  =  ( z  e.  CC  |->  ( Im
`  z ) ) )
49 imcncf 18403 . . . . . . 7  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
5049, 43eleqtri 2358 . . . . . 6  |-  Im  e.  ( K  Cn  J
)
5148, 50syl6eqelr 2375 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Im `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
5217, 45, 51cnmpt1t 17355 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.
)  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
5331, 52syl5eqel 2370 . . 3  |-  (  T. 
->  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
54 ishmeo 17446 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J 
tX  J )  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) ) )
5530, 53, 54sylanbrc 647 . 2  |-  (  T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
)  Homeo  K ) )
5655trud 1316 1  |-  F  e.  ( ( J  tX  J )  Homeo  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1309    = wceq 1625    e. wcel 1687    C_ wss 3155   <.cop 3646    e. cmpt 4080   `'ccnv 4689   ran crn 4691   -->wf 5219   ` cfv 5223  (class class class)co 5821    e. cmpt2 5823   CCcc 8732   RRcr 8733   _ici 8736    + caddc 8737    x. cmul 8739   (,)cioo 10652   Recre 11578   Imcim 11579   ↾t crest 13321   TopOpenctopn 13322   topGenctg 13338  ℂfldccnfld 16373   Topctop 16627  TopOnctopon 16628    Cn ccn 16950    tX ctx 17251    Homeo chmeo 17440   -cn->ccncf 18376
This theorem is referenced by:  cnheiborlem  18448  mbfimaopnlem  19006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-addf 8813  ax-mulf 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-er 6657  df-map 6771  df-ixp 6815  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-fi 7162  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-7 9806  df-8 9807  df-9 9808  df-10 9809  df-n0 9963  df-z 10022  df-dec 10122  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xneg 10449  df-xadd 10450  df-xmul 10451  df-ioo 10656  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378
  Copyright terms: Public domain W3C validator