MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrehmeo Unicode version

Theorem cnrehmeo 18413
Description: The canonical bijection from  ( RR  X.  RR ) to  CC described in cnref1o 10316 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if  ( RR  X.  RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
cnrehmeo.2  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnrehmeo.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnrehmeo  |-  F  e.  ( ( J  tX  J )  Homeo  K )
Distinct variable group:    x, y, K
Allowed substitution hints:    F( x, y)    J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeo
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 retopon 18234 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
42, 3eqeltri 2328 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
54a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  RR ) )
6 cnrehmeo.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtop 18255 . . . . . . 7  |-  K  e. 
Top
8 cnrest2r 16977 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
97, 8mp1i 13 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
105, 5cnmpt1st 17324 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
116tgioo2 18271 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
122, 11eqtri 2278 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  RR )
1312oveq2i 5803 . . . . . . 7  |-  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  =  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )
1410, 13syl6eleq 2348 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
159, 14sseldd 3156 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
166cnfldtopon 18254 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1716a1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
18 ax-icn 8764 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1918a1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
205, 5, 17, 19cnmpt2c 17326 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  _i )  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
215, 5cnmpt2nd 17325 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
2221, 13syl6eleq 2348 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
239, 22sseldd 3156 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
246mulcn 18333 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2524a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 17331 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( _i  x.  y
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
276addcn 18331 . . . . . 6  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2827a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 17331 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
301, 29syl5eqel 2342 . . 3  |-  (  T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
311cnrecnv 11615 . . . 4  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
32 ref 11562 . . . . . . . 8  |-  Re : CC
--> RR
3332a1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  Re : CC --> RR )
3433feqmptd 5509 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  Re  =  ( z  e.  CC  |->  ( Re
`  z ) ) )
35 recncf 18368 . . . . . . 7  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
36 ssid 3172 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
37 ax-resscn 8762 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3816toponunii 16632 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. K
3938restid 13300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Kt  CC )  =  K )
4016, 39ax-mp 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kt  CC )  =  K
4140eqcomi 2262 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Kt  CC )
426, 41, 12cncfcn 18375 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( K  Cn  J ) )
4336, 37, 42mp2an 656 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( K  Cn  J )
4435, 43eleqtri 2330 . . . . . 6  |-  Re  e.  ( K  Cn  J
)
4534, 44syl6eqelr 2347 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Re `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
46 imf 11563 . . . . . . . 8  |-  Im : CC
--> RR
4746a1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  Im : CC --> RR )
4847feqmptd 5509 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  Im  =  ( z  e.  CC  |->  ( Im
`  z ) ) )
49 imcncf 18369 . . . . . . 7  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
5049, 43eleqtri 2330 . . . . . 6  |-  Im  e.  ( K  Cn  J
)
5148, 50syl6eqelr 2347 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Im `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
5217, 45, 51cnmpt1t 17321 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.
)  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
5331, 52syl5eqel 2342 . . 3  |-  (  T. 
->  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
54 ishmeo 17412 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J 
tX  J )  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) ) )
5530, 53, 54sylanbrc 648 . 2  |-  (  T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
)  Homeo  K ) )
5655trud 1320 1  |-  F  e.  ( ( J  tX  J )  Homeo  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1312    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3127   <.cop 3617    e. cmpt 4051   `'ccnv 4660   ran crn 4662   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    e. cmpt2 5794   CCcc 8703   RRcr 8704   _ici 8707    + caddc 8708    x. cmul 8710   (,)cioo 10622   Recre 11547   Imcim 11548   ↾t crest 13287   TopOpenctopn 13288   topGenctg 13304  ℂfldccnfld 16339   Topctop 16593  TopOnctopon 16594    Cn ccn 16916    tX ctx 17217    Homeo chmeo 17406   -cn->ccncf 18342
This theorem is referenced by:  cnheiborlem  18414  mbfimaopnlem  18972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344
  Copyright terms: Public domain W3C validator