MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrehmeo Unicode version

Theorem cnrehmeo 18467
Description: The canonical bijection from  ( RR  X.  RR ) to  CC described in cnref1o 10365 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if  ( RR  X.  RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
cnrehmeo.2  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnrehmeo.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnrehmeo  |-  F  e.  ( ( J  tX  J )  Homeo  K )
Distinct variable group:    x, y, K
Allowed substitution hints:    F( x, y)    J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeo
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 retopon 18288 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
42, 3eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
54a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  RR ) )
6 cnrehmeo.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtop 18309 . . . . . . 7  |-  K  e. 
Top
8 cnrest2r 17031 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
97, 8mp1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
105, 5cnmpt1st 17378 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
116tgioo2 18325 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
122, 11eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  RR )
1312oveq2i 5885 . . . . . . 7  |-  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  =  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )
1410, 13syl6eleq 2386 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
159, 14sseldd 3194 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
166cnfldtopon 18308 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1716a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
18 ax-icn 8812 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1918a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
205, 5, 17, 19cnmpt2c 17380 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  _i )  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
215, 5cnmpt2nd 17379 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
2221, 13syl6eleq 2386 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
239, 22sseldd 3194 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
246mulcn 18387 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2524a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 17385 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( _i  x.  y
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
276addcn 18385 . . . . . 6  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2827a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 17385 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
301, 29syl5eqel 2380 . . 3  |-  (  T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
311cnrecnv 11666 . . . 4  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
32 ref 11613 . . . . . . . 8  |-  Re : CC
--> RR
3332a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  Re : CC --> RR )
3433feqmptd 5591 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  Re  =  ( z  e.  CC  |->  ( Re
`  z ) ) )
35 recncf 18422 . . . . . . 7  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
36 ssid 3210 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
37 ax-resscn 8810 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3816toponunii 16686 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. K
3938restid 13354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Kt  CC )  =  K )
4016, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kt  CC )  =  K
4140eqcomi 2300 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Kt  CC )
426, 41, 12cncfcn 18429 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( K  Cn  J ) )
4336, 37, 42mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( K  Cn  J )
4435, 43eleqtri 2368 . . . . . 6  |-  Re  e.  ( K  Cn  J
)
4534, 44syl6eqelr 2385 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Re `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
46 imf 11614 . . . . . . . 8  |-  Im : CC
--> RR
4746a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  Im : CC --> RR )
4847feqmptd 5591 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  Im  =  ( z  e.  CC  |->  ( Im
`  z ) ) )
49 imcncf 18423 . . . . . . 7  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
5049, 43eleqtri 2368 . . . . . 6  |-  Im  e.  ( K  Cn  J
)
5148, 50syl6eqelr 2385 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Im `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
5217, 45, 51cnmpt1t 17375 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.
)  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
5331, 52syl5eqel 2380 . . 3  |-  (  T. 
->  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
54 ishmeo 17466 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J 
tX  J )  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) ) )
5530, 53, 54sylanbrc 645 . 2  |-  (  T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
)  Homeo  K ) )
5655trud 1314 1  |-  F  e.  ( ( J  tX  J )  Homeo  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   <.cop 3656    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   CCcc 8751   RRcr 8752   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758   (,)cioo 10672   Recre 11598   Imcim 11599   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   topGenctg 13358  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    tX ctx 17271    Homeo chmeo 17460   -cn->ccncf 18396
This theorem is referenced by:  cnheiborlem  18468  mbfimaopnlem  19026  tpr2rico  23311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398
  Copyright terms: Public domain W3C validator