Theorem cnrsfin 10509

Description: A mapping remains continuous when the topology associated to its domain is replaced by a finer one.

Assertion

Ref	Expression
cnrsfin	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((F e. (J Cn L) /\ U.J = U.K /\ J (_ K) -> F e. (K Cn L)))

Proof of Theorem cnrsfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . . . . . . 9 |- U.J = U.J
2		eqid 1475	. . . . . . . . 9 |- U.L = U.L
3	1, 2	iscn 7758	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ L e. Top) -> (F e. (J Cn L) <-> (F:U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. J)))
4	3	3adant2 798	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (F e. (J Cn L) <-> (F:U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. J)))
5	4	ad2antrr 404	. . . . . 6 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ J (_ K) /\ U.J = U.K) -> (F e. (J Cn L) <-> (F:U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. J)))
6		feq2 3621	. . . . . . . . 9 |- (U.J = U.K -> (F:U.J-->U.L <-> F:U.K-->U.L))
7	6	biimpd 153	. . . . . . . 8 |- (U.J = U.K -> (F:U.J-->U.L -> F:U.K-->U.L))
8	7	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ J (_ K) /\ U.J = U.K) -> (F:U.J-->U.L -> F:U.K-->U.L))
9		ssel 2063	. . . . . . . . 9 |- (J (_ K -> ((`'F"x) e. J -> (`'F"x) e. K))
10	9	r19.20sdv 1710	. . . . . . . 8 |- (J (_ K -> (A.x e. L (`'F"x) e. J -> A.x e. L (`'F"x) e. K))
11	10	ad2antlr 405	. . . . . . 7 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ J (_ K) /\ U.J = U.K) -> (A.x e. L (`'F"x) e. J -> A.x e. L (`'F"x) e. K))
12	8, 11	anim12d 558	. . . . . 6 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ J (_ K) /\ U.J = U.K) -> ((F:U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. J) -> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))
13	5, 12	sylbid 203	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ J (_ K) /\ U.J = U.K) -> (F e. (J Cn L) -> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))
14	13	exp31 376	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (J (_ K -> (U.J = U.K -> (F e. (J Cn L) -> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))))
15	14	com24 37	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (F e. (J Cn L) -> (U.J = U.K -> (J (_ K -> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))))
16	15	3impd 847	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((F e. (J Cn L) /\ U.J = U.K /\ J (_ K) -> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))
17		eqid 1475	. . . 4 |- U.K = U.K
18	17, 2	iscn 7758	. . 3 |- ((K e. Top /\ L e. Top) -> (F e. (K Cn L) <-> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))
19	18	3adant1 797	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (F e. (K Cn L) <-> (F:U.K-->U.L /\ A.x e. L (`'F"x) e. K)))
20	16, 19	sylibrd 204	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((F e. (J Cn L) /\ U.J = U.K /\ J (_ K) -> F e. (K Cn L)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047  U.cuni 2503  `'ccnv 3169  "cima 3173  -->wf 3178  (class class class)co 3963  Topctop 7588   Cn ccn 7752

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-cn 7754

Copyright terms: Public domain