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Theorem cntrset 25002
Description: Cantor's set is between  0 and  1. Viro p. 15. (Contributed by FL, 17-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cntrset.1  |-  C  =  { x  |  E. f  e.  ( {
0 ,  2 }  ^m  NN ) x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) ) }
Assertion
Ref Expression
cntrset  |-  C  C_  ( 0 [,] 1
)
Distinct variable group:    f, k, x
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    C( x, f, k)

Proof of Theorem cntrset
StepHypRef Expression
1 cntrset.1 . 2  |-  C  =  { x  |  E. f  e.  ( {
0 ,  2 }  ^m  NN ) x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) ) }
2 prex 4217 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  2 }  e.  _V
3 nnex 9748 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
42, 3elmap 6792 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN )  <->  f : NN --> { 0 ,  2 } )
5 nnuz 10259 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6 1z 10049 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
76a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  1  e.  ZZ )
8 fveq2 5486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
9 oveq2 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
3 ^ n )  =  ( 3 ^ k ) )
108, 9oveq12d 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
)  /  ( 3 ^ n ) )  =  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) ) )
11 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  /  ( 3 ^ n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) )
12 ovex 5845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  k )  /  ( 3 ^ k ) )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5564 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  /  (
3 ^ n ) ) ) `  k
)  =  ( ( f `  k )  /  ( 3 ^ k ) ) )
1413adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  =  ( ( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) ) )
15 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  { 0 ,  2 } )
16 fvex 5500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
1716elpr 3660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  e.  { 0 ,  2 }  <->  ( (
f `  k )  =  0  \/  (
f `  k )  =  2 ) )
1815, 17sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `  k )  =  0  \/  ( f `  k )  =  2 ) )
19 0re 8834 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
20 eleq1 2345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
( f `  k
)  e.  RR  <->  0  e.  RR ) )
2119, 20mpbiri 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
f `  k )  e.  RR )
22 2re 9811 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
23 eleq1 2345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
( f `  k
)  e.  RR  <->  2  e.  RR ) )
2422, 23mpbiri 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
f `  k )  e.  RR )
2521, 24jaoi 370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  k
)  =  0  \/  ( f `  k
)  =  2 )  ->  ( f `  k )  e.  RR )
2618, 25syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  RR )
27 3nn 9874 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
28 nnnn0 9968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
2928adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
30 nnexpcl 11111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 3 ^ k
)  e.  NN )
3127, 29, 30sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 3 ^ k
)  e.  NN )
3226, 31nndivred 9790 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  e.  RR )
33 1nn 9753 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
3433a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  1  e.  NN )
359oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  /  ( 3 ^ n ) )  =  ( 2  / 
( 3 ^ k
) ) )
36 eqid 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  /  ( 3 ^ n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  / 
( 3 ^ n
) ) )
37 ovex 5845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  ( 3 ^ k ) )  e. 
_V
3835, 36, 37fvmpt 5564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) `  k
)  =  ( 2  /  ( 3 ^ k ) ) )
3938adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  =  ( 2  /  ( 3 ^ k ) ) )
40 nndivre 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 3 ^ k
)  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( 3 ^ k
) )  e.  RR )
4122, 31, 40sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  /  (
3 ^ k ) )  e.  RR )
4239, 41eqeltrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  e.  RR )
4314, 32eqeltrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  e.  RR )
44 2cn 9812 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4544a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  2  e.  CC )
46 nnrecre 9778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
1  /  3 )  e.  RR )
4727, 46ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
4847a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  ( 1  /  3 )  e.  RR )
4948recnd 8857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  ( 1  /  3 )  e.  CC )
50 3re 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  RR
51 1lt3 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  3
52 recgt1i 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  1  <  3 )  -> 
( 0  <  (
1  /  3 )  /\  ( 1  / 
3 )  <  1
) )
5350, 51, 52mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  <  ( 1  / 
3 )  /\  (
1  /  3 )  <  1 )
5453simpli 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  ( 1  /  3
)
5519, 47, 54ltleii 8937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
5655a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  0  <_  ( 1  / 
3 ) )
57 absid 11776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
5847, 56, 57sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  ( abs `  ( 1  /  3 ) )  =  ( 1  / 
3 ) )
5953simpri 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  3 )  <  1
6058, 59syl6eqbr 4062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  ( abs `  ( 1  /  3 ) )  <  1 )
61 1nn0 9977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
6261a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  1  e.  NN0 )
63 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6463, 5syl6eleqr 2376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
k  e.  NN )
65 oveq2 5828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  3
) ^ n )  =  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )
66 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) )
67 ovex 5845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  e. 
_V
6865, 66, 67fvmpt 5564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) )
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
7049, 60, 62, 69geolim2 12322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
7147recni 8845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
72 exp1 11104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  3
) ^ 1 )  =  ( 1  / 
3 ) )
7371, 72ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  =  ( 1  /  3
)
74 3cn 9814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
75 ax-1cn 8791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
76 3ne0 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =/=  0
7774, 76pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
78 divsubdir 9452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
7974, 75, 77, 78mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
80 2p1e3 9843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  +  1 )  =  3
8174, 75, 44subadd2i 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  -  1 )  =  2  <->  ( 2  +  1 )  =  3 )
8280, 81mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  -  1 )  =  2
8382oveq1i 5830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
8474, 76dividi 9489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  /  3 )  =  1
8584oveq1i 5830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
8679, 83, 853eqtr3ri 2314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
8773, 86oveq12i 5832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )
88 2ne0 9825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
8944, 88pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
90 divcan7 9465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
9175, 89, 77, 90mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
)
9287, 91eqtri 2305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 1  /  2
)
9370, 92syl6breq 4064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ) )  ~~>  ( 1  /  2 ) )
9468adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
95 reexpcl 11115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  RR )
9647, 29, 95sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  RR )
9794, 96eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  e.  RR )
9897recnd 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  e.  CC )
9944a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
10031nnred 9757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 3 ^ k
)  e.  RR )
101100recnd 8857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 3 ^ k
)  e.  CC )
10231nnne0d 9786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 3 ^ k
)  =/=  0 )
10399, 101, 102divrecd 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  /  (
3 ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  / 
( 3 ^ k
) ) ) )
10474a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  3  e.  CC )
10576a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  3  =/=  0 )
106 nnz 10041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
107106adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
108104, 105, 107exprecd 11248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  =  ( 1  /  ( 3 ^ k ) ) )
10994, 108eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  =  ( 1  /  ( 3 ^ k ) ) )
110109oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ) `  k
) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  ( 3 ^ k ) ) ) )
111103, 39, 1103eqtr4d 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ) `  k ) ) )
1125, 7, 45, 93, 98, 111isermulc2 12126 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  ~~>  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
113 seqex 11043 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 2  /  ( 3 ^ n ) ) ) )  e.  _V
114 ovex 5845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  e. 
_V
115113, 114breldm 4883 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  ~~>  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
116112, 115syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
11719leidi 9303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  0
118 breq2 4029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
0  <_  ( f `  k )  <->  0  <_  0 ) )
119117, 118mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  0  <_  ( f `  k
) )
120 2pos 9824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
12119, 22, 120ltleii 8937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
122 breq2 4029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
0  <_  ( f `  k )  <->  0  <_  2 ) )
123121, 122mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  0  <_  ( f `  k
) )
124119, 123jaoi 370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  k
)  =  0  \/  ( f `  k
)  =  2 )  ->  0  <_  (
f `  k )
)
12518, 124syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( f `  k ) )
12631nngt0d 9785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  ( 3 ^ k ) )
127 divge0 9621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f `  k )  e.  RR  /\  0  <_  ( f `  k ) )  /\  ( ( 3 ^ k )  e.  RR  /\  0  <  ( 3 ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( ( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) ) )
12826, 125, 100, 126, 127syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
f `  k )  /  ( 3 ^ k ) ) )
129128, 14breqtrrd 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  /  ( 3 ^ n ) ) ) `  k ) )
13064, 129syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
0  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  /  ( 3 ^ n ) ) ) `  k ) )
131 breq1 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
( f `  k
)  <_  2  <->  0  <_  2 ) )
132121, 131mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
f `  k )  <_  2 )
13322leidi 9303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <_  2
134 breq1 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
( f `  k
)  <_  2  <->  2  <_  2 ) )
135133, 134mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
f `  k )  <_  2 )
136132, 135jaoi 370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  k
)  =  0  \/  ( f `  k
)  =  2 )  ->  ( f `  k )  <_  2
)
13718, 136syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  <_  2 )
13822a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
139 lediv1 9617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  k
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
( 3 ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( 3 ^ k ) ) )  ->  ( ( f `
 k )  <_ 
2  <->  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) )  <_  (
2  /  ( 3 ^ k ) ) ) )
14026, 138, 100, 126, 139syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `  k )  <_  2  <->  ( ( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  <_  ( 2  / 
( 3 ^ k
) ) ) )
141137, 140mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  <_  ( 2  /  ( 3 ^ k ) ) )
142141, 14, 393brtr4d 4055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) `  k
) )
14364, 142syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) `  k
) )
1445, 34, 42, 43, 116, 130, 143cvgcmp 12269 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  /  (
3 ^ n ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
1455, 7, 14, 32, 144isumrecl 12223 . . . . . . 7  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  RR )
1465, 7, 14, 32, 144, 128isumge0 12224 . . . . . . 7  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  0  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) ) )
1475, 7, 14, 32, 39, 41, 141, 144, 116isumle 12298 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  <_  sum_ k  e.  NN  ( 2  /  (
3 ^ k ) ) )
14841recnd 8857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  /  (
3 ^ k ) )  e.  CC )
14944, 88recidi 9487 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
150112, 149syl6breq 4064 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  ~~>  1 )
1515, 7, 39, 148, 150isumclim 12215 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
2  /  ( 3 ^ k ) )  =  1 )
152147, 151breqtrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  <_  1 )
153 1re 8833 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
15419, 153elicc2i 10711 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) )  <_  1
) )
155145, 146, 152, 154syl3anbrc 1138 . . . . . 6  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1564, 155sylbi 189 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
157 eleq1a 2354 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
158156, 157syl 17 . . . 4  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN )  ->  ( x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
159158rexlimiv 2663 . . 3  |-  ( E. f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN ) x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) )
160159abssi 3250 . 2  |-  { x  |  E. f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN ) x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) ) }  C_  ( 0 [,] 1
)
1611, 160eqsstri 3210 1  |-  C  C_  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   {cab 2271    =/= wne 2448   E.wrex 2546    C_ wss 3154   {cpr 3643   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   dom cdm 4689   -->wf 5218   ` cfv 5222  (class class class)co 5820    ^m cmap 6768   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    < clt 8863    <_ cle 8864    - cmin 9033    / cdiv 9419   NNcn 9742   2c2 9791   3c3 9792   NN0cn0 9961   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226   [,]cicc 10654    seq cseq 11041   ^cexp 11099   abscabs 11714    ~~> cli 11953   sum_csu 12153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-ico 10657  df-icc 10658  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-fl 10920  df-seq 11042  df-exp 11100  df-hash 11333  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-limsup 11940  df-clim 11957  df-rlim 11958  df-sum 12154
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