Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntrset Unicode version

Theorem cntrset 24768
Description: Cantor's set is between  0 and  1. Viro p. 15. (Contributed by FL, 17-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cntrset.1  |-  C  =  { x  |  E. f  e.  ( {
0 ,  2 }  ^m  NN ) x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) ) }
Assertion
Ref Expression
cntrset  |-  C  C_  ( 0 [,] 1
)
Distinct variable group:    f, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, f, k)

Proof of Theorem cntrset
StepHypRef Expression
1 cntrset.1 . 2  |-  C  =  { x  |  E. f  e.  ( {
0 ,  2 }  ^m  NN ) x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) ) }
2 prex 4111 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  2 }  e.  _V
3 nnex 9632 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
42, 3elmap 6682 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN )  <->  f : NN --> { 0 ,  2 } )
5 nnuz 10142 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6 1z 9932 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
76a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  1  e.  ZZ )
8 fveq2 5377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
9 oveq2 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
3 ^ n )  =  ( 3 ^ k ) )
108, 9oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
)  /  ( 3 ^ n ) )  =  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) ) )
11 eqid 2253 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  /  ( 3 ^ n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) )
12 ovex 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  k )  /  ( 3 ^ k ) )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5454 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  /  (
3 ^ n ) ) ) `  k
)  =  ( ( f `  k )  /  ( 3 ^ k ) ) )
1413adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  =  ( ( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) ) )
15 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  { 0 ,  2 } )
16 fvex 5391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
1716elpr 3562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  e.  { 0 ,  2 }  <->  ( (
f `  k )  =  0  \/  (
f `  k )  =  2 ) )
1815, 17sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `  k )  =  0  \/  ( f `  k )  =  2 ) )
19 0re 8718 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
20 eleq1 2313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
( f `  k
)  e.  RR  <->  0  e.  RR ) )
2119, 20mpbiri 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
f `  k )  e.  RR )
22 2re 9695 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
23 eleq1 2313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
( f `  k
)  e.  RR  <->  2  e.  RR ) )
2422, 23mpbiri 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
f `  k )  e.  RR )
2521, 24jaoi 370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  k
)  =  0  \/  ( f `  k
)  =  2 )  ->  ( f `  k )  e.  RR )
2618, 25syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  RR )
27 3nn 9757 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
28 nnnn0 9851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
2928adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
30 nnexpcl 10994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 3 ^ k
)  e.  NN )
3127, 29, 30sylancr 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 3 ^ k
)  e.  NN )
3226, 31nndivred 9674 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  e.  RR )
33 1nn 9637 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
3433a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  1  e.  NN )
359oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  /  ( 3 ^ n ) )  =  ( 2  / 
( 3 ^ k
) ) )
36 eqid 2253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  /  ( 3 ^ n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  / 
( 3 ^ n
) ) )
37 ovex 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  ( 3 ^ k ) )  e. 
_V
3835, 36, 37fvmpt 5454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) `  k
)  =  ( 2  /  ( 3 ^ k ) ) )
3938adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  =  ( 2  /  ( 3 ^ k ) ) )
40 nndivre 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 3 ^ k
)  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( 3 ^ k
) )  e.  RR )
4122, 31, 40sylancr 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  /  (
3 ^ k ) )  e.  RR )
4239, 41eqeltrd 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  e.  RR )
4314, 32eqeltrd 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  e.  RR )
44 2cn 9696 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4544a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  2  e.  CC )
46 nnrecre 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
1  /  3 )  e.  RR )
4727, 46ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
4847a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  ( 1  /  3 )  e.  RR )
4948recnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  ( 1  /  3 )  e.  CC )
50 3re 9697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  RR
51 1lt3 9767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  3
52 recgt1i 9533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  1  <  3 )  -> 
( 0  <  (
1  /  3 )  /\  ( 1  / 
3 )  <  1
) )
5350, 51, 52mp2an 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  <  ( 1  / 
3 )  /\  (
1  /  3 )  <  1 )
5453simpli 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  ( 1  /  3
)
5519, 47, 54ltleii 8821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
5655a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  0  <_  ( 1  / 
3 ) )
57 absid 11658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
5847, 56, 57sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  ( abs `  ( 1  /  3 ) )  =  ( 1  / 
3 ) )
5953simpri 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  3 )  <  1
6058, 59syl6eqbr 3957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  ( abs `  ( 1  /  3 ) )  <  1 )
61 1nn0 9860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
6261a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  1  e.  NN0 )
63 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6463, 5syl6eleqr 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
k  e.  NN )
65 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  3
) ^ n )  =  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )
66 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) )
67 ovex 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  e. 
_V
6865, 66, 67fvmpt 5454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) )
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
7049, 60, 62, 69geolim2 12201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
7147recni 8729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
72 exp1 10987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  3
) ^ 1 )  =  ( 1  / 
3 ) )
7371, 72ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  =  ( 1  /  3
)
74 3cn 9698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
75 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
76 3ne0 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =/=  0
7774, 76pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
78 divsubdir 9336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
7974, 75, 77, 78mp3an 1282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
80 2p1e3 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  +  1 )  =  3
8174, 75, 44subadd2i 9014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  -  1 )  =  2  <->  ( 2  +  1 )  =  3 )
8280, 81mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  -  1 )  =  2
8382oveq1i 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
8474, 76dividi 9373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  /  3 )  =  1
8584oveq1i 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
8679, 83, 853eqtr3ri 2282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
8773, 86oveq12i 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )
88 2ne0 9709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
8944, 88pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
90 divcan7 9349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
9175, 89, 77, 90mp3an 1282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
)
9287, 91eqtri 2273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 1  /  2
)
9370, 92syl6breq 3959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ) )  ~~>  ( 1  /  2 ) )
9468adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
95 reexpcl 10998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  RR )
9647, 29, 95sylancr 647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  RR )
9794, 96eqeltrd 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  e.  RR )
9897recnd 8741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  e.  CC )
9944a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
10031nnred 9641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 3 ^ k
)  e.  RR )
101100recnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 3 ^ k
)  e.  CC )
10231nnne0d 9670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 3 ^ k
)  =/=  0 )
10399, 101, 102divrecd 9419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  /  (
3 ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  / 
( 3 ^ k
) ) ) )
10474a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  3  e.  CC )
10576a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  3  =/=  0 )
106 nnz 9924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
107106adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
108104, 105, 107exprecd 11131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  =  ( 1  /  ( 3 ^ k ) ) )
10994, 108eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  =  ( 1  /  ( 3 ^ k ) ) )
110109oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ) `  k
) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  ( 3 ^ k ) ) ) )
111103, 39, 1103eqtr4d 2295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ) `  k ) ) )
1125, 7, 45, 93, 98, 111isermulc2 12008 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  ~~>  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
113 seqex 10926 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 2  /  ( 3 ^ n ) ) ) )  e.  _V
114 ovex 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  e. 
_V
115113, 114breldm 4790 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  ~~>  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
116112, 115syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
11719leidi 9187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  0
118 breq2 3924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
0  <_  ( f `  k )  <->  0  <_  0 ) )
119117, 118mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  0  <_  ( f `  k
) )
120 2pos 9708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
12119, 22, 120ltleii 8821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
122 breq2 3924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
0  <_  ( f `  k )  <->  0  <_  2 ) )
123121, 122mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  0  <_  ( f `  k
) )
124119, 123jaoi 370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  k
)  =  0  \/  ( f `  k
)  =  2 )  ->  0  <_  (
f `  k )
)
12518, 124syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( f `  k ) )
12631nngt0d 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  ( 3 ^ k ) )
127 divge0 9505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f `  k )  e.  RR  /\  0  <_  ( f `  k ) )  /\  ( ( 3 ^ k )  e.  RR  /\  0  <  ( 3 ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( ( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) ) )
12826, 125, 100, 126, 127syl22anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
f `  k )  /  ( 3 ^ k ) ) )
129128, 14breqtrrd 3946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  /  ( 3 ^ n ) ) ) `  k ) )
13064, 129syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
0  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  /  ( 3 ^ n ) ) ) `  k ) )
131 breq1 3923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
( f `  k
)  <_  2  <->  0  <_  2 ) )
132121, 131mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
f `  k )  <_  2 )
13322leidi 9187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <_  2
134 breq1 3923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
( f `  k
)  <_  2  <->  2  <_  2 ) )
135133, 134mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
f `  k )  <_  2 )
136132, 135jaoi 370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  k
)  =  0  \/  ( f `  k
)  =  2 )  ->  ( f `  k )  <_  2
)
13718, 136syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  <_  2 )
13822a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
139 lediv1 9501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  k
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
( 3 ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( 3 ^ k ) ) )  ->  ( ( f `
 k )  <_ 
2  <->  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) )  <_  (
2  /  ( 3 ^ k ) ) ) )
14026, 138, 100, 126, 139syl112anc 1191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `  k )  <_  2  <->  ( ( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  <_  ( 2  / 
( 3 ^ k
) ) ) )
141137, 140mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  <_  ( 2  /  ( 3 ^ k ) ) )
142141, 14, 393brtr4d 3950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) `  k
) )
14364, 142syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) `  k
) )
1445, 34, 42, 43, 116, 130, 143cvgcmp 12151 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  /  (
3 ^ n ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
1455, 7, 14, 32, 144isumrecl 12105 . . . . . . 7  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  RR )
1465, 7, 14, 32, 144, 128isumge0 12106 . . . . . . 7  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  0  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) ) )
1475, 7, 14, 32, 39, 41, 141, 144, 116isumle 12177 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  <_  sum_ k  e.  NN  ( 2  /  (
3 ^ k ) ) )
14841recnd 8741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  /  (
3 ^ k ) )  e.  CC )
14944, 88recidi 9371 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
150112, 149syl6breq 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  ~~>  1 )
1515, 7, 39, 148, 150isumclim 12097 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
2  /  ( 3 ^ k ) )  =  1 )
152147, 151breqtrd 3944 . . . . . . 7  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  <_  1 )
153 1re 8717 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
15419, 153elicc2i 10594 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) )  <_  1
) )
155145, 146, 152, 154syl3anbrc 1141 . . . . . 6  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1564, 155sylbi 189 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
157 eleq1a 2322 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
158156, 157syl 17 . . . 4  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN )  ->  ( x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
159158rexlimiv 2623 . . 3  |-  ( E. f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN ) x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) )
160159abssi 3169 . 2  |-  { x  |  E. f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN ) x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) ) }  C_  ( 0 [,] 1
)
1611, 160eqsstri 3129 1  |-  C  C_  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239    =/= wne 2412   E.wrex 2510    C_ wss 3078   {cpr 3545   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   dom cdm 4580   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    ^m cmap 6658   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    < clt 8747    <_ cle 8748    - cmin 8917    / cdiv 9303   NNcn 9626   2c2 9675   3c3 9676   NN0cn0 9844   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109   [,]cicc 10537    seq cseq 10924   ^cexp 10982   abscabs 11596    ~~> cli 11835   sum_csu 12035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036
  Copyright terms: Public domain W3C validator