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Theorem cntrset 25602
Description: Cantor's set is between  0 and  1. Viro p. 15. (Contributed by FL, 17-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cntrset.1  |-  C  =  { x  |  E. f  e.  ( {
0 ,  2 }  ^m  NN ) x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) ) }
Assertion
Ref Expression
cntrset  |-  C  C_  ( 0 [,] 1
)
Distinct variable group:    f, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, f, k)

Proof of Theorem cntrset
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntrset.1 . 2  |-  C  =  { x  |  E. f  e.  ( {
0 ,  2 }  ^m  NN ) x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) ) }
2 prex 4217 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  2 }  e.  _V
3 nnex 9752 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
42, 3elmap 6796 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN )  <->  f : NN --> { 0 ,  2 } )
5 nnuz 10263 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6 1z 10053 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
76a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  1  e.  ZZ )
8 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
9 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
3 ^ n )  =  ( 3 ^ k ) )
108, 9oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
)  /  ( 3 ^ n ) )  =  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) ) )
11 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  /  ( 3 ^ n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) )
12 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  k )  /  ( 3 ^ k ) )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  /  (
3 ^ n ) ) ) `  k
)  =  ( ( f `  k )  /  ( 3 ^ k ) ) )
1413adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  =  ( ( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) ) )
15 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  { 0 ,  2 } )
16 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
1716elpr 3658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  e.  { 0 ,  2 }  <->  ( (
f `  k )  =  0  \/  (
f `  k )  =  2 ) )
1815, 17sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `  k )  =  0  \/  ( f `  k )  =  2 ) )
19 0re 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
20 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
( f `  k
)  e.  RR  <->  0  e.  RR ) )
2119, 20mpbiri 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
f `  k )  e.  RR )
22 2re 9815 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
23 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
( f `  k
)  e.  RR  <->  2  e.  RR ) )
2422, 23mpbiri 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
f `  k )  e.  RR )
2521, 24jaoi 368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  k
)  =  0  \/  ( f `  k
)  =  2 )  ->  ( f `  k )  e.  RR )
2618, 25syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  RR )
27 3nn 9878 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
28 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
2928adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
30 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 3 ^ k
)  e.  NN )
3127, 29, 30sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 3 ^ k
)  e.  NN )
3226, 31nndivred 9794 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  e.  RR )
33 1nn 9757 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
3433a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  1  e.  NN )
359oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  /  ( 3 ^ n ) )  =  ( 2  / 
( 3 ^ k
) ) )
36 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  /  ( 3 ^ n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  / 
( 3 ^ n
) ) )
37 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  ( 3 ^ k ) )  e. 
_V
3835, 36, 37fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) `  k
)  =  ( 2  /  ( 3 ^ k ) ) )
3938adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  =  ( 2  /  ( 3 ^ k ) ) )
40 nndivre 9781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 3 ^ k
)  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( 3 ^ k
) )  e.  RR )
4122, 31, 40sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  /  (
3 ^ k ) )  e.  RR )
4239, 41eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  e.  RR )
4314, 32eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  e.  RR )
44 2cn 9816 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4544a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  2  e.  CC )
46 nnrecre 9782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
1  /  3 )  e.  RR )
4727, 46ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
4847a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  ( 1  /  3 )  e.  RR )
4948recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  ( 1  /  3 )  e.  CC )
50 3re 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  RR
51 1lt3 9888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  3
52 recgt1i 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  1  <  3 )  -> 
( 0  <  (
1  /  3 )  /\  ( 1  / 
3 )  <  1
) )
5350, 51, 52mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  <  ( 1  / 
3 )  /\  (
1  /  3 )  <  1 )
5453simpli 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  ( 1  /  3
)
5519, 47, 54ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
5655a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  0  <_  ( 1  / 
3 ) )
57 absid 11781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
5847, 56, 57sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  ( abs `  ( 1  /  3 ) )  =  ( 1  / 
3 ) )
5953simpri 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  3 )  <  1
6058, 59syl6eqbr 4060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  ( abs `  ( 1  /  3 ) )  <  1 )
61 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
6261a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  1  e.  NN0 )
63 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6463, 5syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
k  e.  NN )
65 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  3
) ^ n )  =  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )
66 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) )
67 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  e. 
_V
6865, 66, 67fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) )
6964, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
7049, 60, 62, 69geolim2 12327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
7147recni 8849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
72 exp1 11109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  3
) ^ 1 )  =  ( 1  / 
3 ) )
7371, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  =  ( 1  /  3
)
74 3cn 9818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
75 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
76 3ne0 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =/=  0
7774, 76pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
78 divsubdir 9456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
7974, 75, 77, 78mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
80 2p1e3 9847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  +  1 )  =  3
8174, 75, 44subadd2i 9134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  -  1 )  =  2  <->  ( 2  +  1 )  =  3 )
8280, 81mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  -  1 )  =  2
8382oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
8474, 76dividi 9493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  /  3 )  =  1
8584oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
8679, 83, 853eqtr3ri 2312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
8773, 86oveq12i 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )
88 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
8944, 88pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
90 divcan7 9469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
9175, 89, 77, 90mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
)
9287, 91eqtri 2303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 1  /  2
)
9370, 92syl6breq 4062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ) )  ~~>  ( 1  /  2 ) )
9468adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
95 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  RR )
9647, 29, 95sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  RR )
9794, 96eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  e.  RR )
9897recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  e.  CC )
9944a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
10031nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 3 ^ k
)  e.  RR )
101100recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 3 ^ k
)  e.  CC )
10231nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 3 ^ k
)  =/=  0 )
10399, 101, 102divrecd 9539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  /  (
3 ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  / 
( 3 ^ k
) ) ) )
10474a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  3  e.  CC )
10576a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  3  =/=  0 )
106 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
107106adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
108104, 105, 107exprecd 11253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  =  ( 1  /  ( 3 ^ k ) ) )
10994, 108eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ) `  k )  =  ( 1  /  ( 3 ^ k ) ) )
110109oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ) `  k
) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  ( 3 ^ k ) ) ) )
111103, 39, 1103eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ) `  k ) ) )
1125, 7, 45, 93, 98, 111isermulc2 12131 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  ~~>  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
113 seqex 11048 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 2  /  ( 3 ^ n ) ) ) )  e.  _V
114 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  e. 
_V
115113, 114breldm 4883 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  ~~>  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
116112, 115syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
11719leidi 9307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  0
118 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
0  <_  ( f `  k )  <->  0  <_  0 ) )
119117, 118mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  0  <_  ( f `  k
) )
120 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
12119, 22, 120ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
122 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
0  <_  ( f `  k )  <->  0  <_  2 ) )
123121, 122mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  0  <_  ( f `  k
) )
124119, 123jaoi 368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  k
)  =  0  \/  ( f `  k
)  =  2 )  ->  0  <_  (
f `  k )
)
12518, 124syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( f `  k ) )
12631nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  ( 3 ^ k ) )
127 divge0 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f `  k )  e.  RR  /\  0  <_  ( f `  k ) )  /\  ( ( 3 ^ k )  e.  RR  /\  0  <  ( 3 ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( ( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) ) )
12826, 125, 100, 126, 127syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
f `  k )  /  ( 3 ^ k ) ) )
129128, 14breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  /  ( 3 ^ n ) ) ) `  k ) )
13064, 129syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
0  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
)  /  ( 3 ^ n ) ) ) `  k ) )
131 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
( f `  k
)  <_  2  <->  0  <_  2 ) )
132121, 131mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  k )  =  0  ->  (
f `  k )  <_  2 )
13322leidi 9307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <_  2
134 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
( f `  k
)  <_  2  <->  2  <_  2 ) )
135133, 134mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  k )  =  2  ->  (
f `  k )  <_  2 )
136132, 135jaoi 368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  k
)  =  0  \/  ( f `  k
)  =  2 )  ->  ( f `  k )  <_  2
)
13718, 136syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  <_  2 )
13822a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
139 lediv1 9621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  k
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
( 3 ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( 3 ^ k ) ) )  ->  ( ( f `
 k )  <_ 
2  <->  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) )  <_  (
2  /  ( 3 ^ k ) ) ) )
14026, 138, 100, 126, 139syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `  k )  <_  2  <->  ( ( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  <_  ( 2  / 
( 3 ^ k
) ) ) )
141137, 140mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  <_  ( 2  /  ( 3 ^ k ) ) )
142141, 14, 393brtr4d 4053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) `  k
) )
14364, 142syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n )  / 
( 3 ^ n
) ) ) `  k )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) `  k
) )
1445, 34, 42, 43, 116, 130, 143cvgcmp 12274 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n )  /  (
3 ^ n ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
1455, 7, 14, 32, 144isumrecl 12228 . . . . . . 7  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  RR )
1465, 7, 14, 32, 144, 128isumge0 12229 . . . . . . 7  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  0  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) ) )
1475, 7, 14, 32, 39, 41, 141, 144, 116isumle 12303 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  <_  sum_ k  e.  NN  ( 2  /  (
3 ^ k ) ) )
14841recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : NN --> { 0 ,  2 }  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  /  (
3 ^ k ) )  e.  CC )
14944, 88recidi 9491 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
150112, 149syl6breq 4062 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 2  /  (
3 ^ n ) ) ) )  ~~>  1 )
1515, 7, 39, 148, 150isumclim 12220 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
2  /  ( 3 ^ k ) )  =  1 )
152147, 151breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  <_  1 )
153 1re 8837 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
15419, 153elicc2i 10716 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) )  <_  1
) )
155145, 146, 152, 154syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( f : NN --> { 0 ,  2 }  ->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1564, 155sylbi 187 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
157 eleq1a 2352 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  /  ( 3 ^ k ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
158156, 157syl 15 . . . 4  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN )  ->  ( x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
159158rexlimiv 2661 . . 3  |-  ( E. f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN ) x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  /  (
3 ^ k ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) )
160159abssi 3248 . 2  |-  { x  |  E. f  e.  ( { 0 ,  2 }  ^m  NN ) x  =  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  / 
( 3 ^ k
) ) }  C_  ( 0 [,] 1
)
1611, 160eqsstri 3208 1  |-  C  C_  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   E.wrex 2544    C_ wss 3152   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   [,]cicc 10659    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sum_csu 12158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
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