MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvco Unicode version

Theorem cnvco 4772
Description: Distributive law of converse over class composition. Theorem 26 of [Suppes] p. 64. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cnvco  |-  `' ( A  o.  B )  =  ( `' B  o.  `' A )

Proof of Theorem cnvco
StepHypRef Expression
1 exancom 1584 . . . 4  |-  ( E. z ( x B z  /\  z A y )  <->  E. z
( z A y  /\  x B z ) )
2 vex 2730 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
3 vex 2730 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
42, 3brco 4759 . . . 4  |-  ( x ( A  o.  B
) y  <->  E. z
( x B z  /\  z A y ) )
5 vex 2730 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
63, 5brcnv 4771 . . . . . 6  |-  ( y `' A z  <->  z A
y )
75, 2brcnv 4771 . . . . . 6  |-  ( z `' B x  <->  x B
z )
86, 7anbi12i 681 . . . . 5  |-  ( ( y `' A z  /\  z `' B x )  <->  ( z A y  /\  x B z ) )
98exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. z ( y `' A z  /\  z `' B x )  <->  E. z
( z A y  /\  x B z ) )
101, 4, 93bitr4i 270 . . 3  |-  ( x ( A  o.  B
) y  <->  E. z
( y `' A
z  /\  z `' B x ) )
1110opabbii 3980 . 2  |-  { <. y ,  x >.  |  x ( A  o.  B
) y }  =  { <. y ,  x >.  |  E. z ( y `' A z  /\  z `' B x ) }
12 df-cnv 4596 . 2  |-  `' ( A  o.  B )  =  { <. y ,  x >.  |  x
( A  o.  B
) y }
13 df-co 4597 . 2  |-  ( `' B  o.  `' A
)  =  { <. y ,  x >.  |  E. z ( y `' A z  /\  z `' B x ) }
1411, 12, 133eqtr4i 2283 1  |-  `' ( A  o.  B )  =  ( `' B  o.  `' A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619   class class class wbr 3920   {copab 3973   `'ccnv 4579    o. ccom 4584
This theorem is referenced by:  rncoss  4852  rncoeq  4855  dmco  5087  cores2  5091  co01  5093  coi2  5095  relcnvtr  5098  dfdm2  5110  f1co  5303  cofunex2g  5592  fparlem3  6072  fparlem4  6073  suppfif1  7033  mapfien  7283  cnvps  14156  gimco  14567  gsumval3  15026  gsumzf1o  15031  cnco  16827  ptrescn  17165  qtopcn  17237  hmeoco  17295  cncombf  18845  deg1val  19314  cvmliftmolem1  22983  cvmlift2lem9a  23005  cvmlift2lem9  23013  relexpcnv  23200  trlcocnv  29598  tendoicl  29674  cdlemk45  29825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-cnv 4596  df-co 4597
  Copyright terms: Public domain W3C validator