MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvco Unicode version

Theorem cnvco 4853
Description: Distributive law of converse over class composition. Theorem 26 of [Suppes] p. 64. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cnvco  |-  `' ( A  o.  B )  =  ( `' B  o.  `' A )

Proof of Theorem cnvco
StepHypRef Expression
1 exancom 1584 . . . 4  |-  ( E. z ( x B z  /\  z A y )  <->  E. z
( z A y  /\  x B z ) )
2 vex 2766 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
3 vex 2766 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
42, 3brco 4840 . . . 4  |-  ( x ( A  o.  B
) y  <->  E. z
( x B z  /\  z A y ) )
5 vex 2766 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
63, 5brcnv 4852 . . . . . 6  |-  ( y `' A z  <->  z A
y )
75, 2brcnv 4852 . . . . . 6  |-  ( z `' B x  <->  x B
z )
86, 7anbi12i 681 . . . . 5  |-  ( ( y `' A z  /\  z `' B x )  <->  ( z A y  /\  x B z ) )
98exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. z ( y `' A z  /\  z `' B x )  <->  E. z
( z A y  /\  x B z ) )
101, 4, 93bitr4i 270 . . 3  |-  ( x ( A  o.  B
) y  <->  E. z
( y `' A
z  /\  z `' B x ) )
1110opabbii 4057 . 2  |-  { <. y ,  x >.  |  x ( A  o.  B
) y }  =  { <. y ,  x >.  |  E. z ( y `' A z  /\  z `' B x ) }
12 df-cnv 4677 . 2  |-  `' ( A  o.  B )  =  { <. y ,  x >.  |  x
( A  o.  B
) y }
13 df-co 4678 . 2  |-  ( `' B  o.  `' A
)  =  { <. y ,  x >.  |  E. z ( y `' A z  /\  z `' B x ) }
1411, 12, 133eqtr4i 2288 1  |-  `' ( A  o.  B )  =  ( `' B  o.  `' A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619   class class class wbr 3997   {copab 4050   `'ccnv 4660    o. ccom 4665
This theorem is referenced by:  rncoss  4933  rncoeq  4936  dmco  5168  cores2  5172  co01  5174  coi2  5176  relcnvtr  5179  dfdm2  5191  f1co  5384  cofunex2g  5674  fparlem3  6154  fparlem4  6155  suppfif1  7117  mapfien  7367  cnvps  14284  gimco  14695  gsumval3  15154  gsumzf1o  15159  cnco  16958  ptrescn  17296  qtopcn  17368  hmeoco  17426  cncombf  18976  deg1val  19445  cvmliftmolem1  23185  cvmlift2lem9a  23207  cvmlift2lem9  23215  relexpcnv  23402  trlcocnv  30159  tendoicl  30235  cdlemk45  30386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 3998  df-opab 4052  df-cnv 4677  df-co 4678
  Copyright terms: Public domain W3C validator