Theorem cnvco 3300

Description: Distributive law of converse over class composition. Theorem 26 of [Suppes] p. 64.

Assertion

Ref	Expression
cnvco	|- `'(A o. B) = (`'B o. `'A)

Proof of Theorem cnvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 2620	. . . 4 |- (x(A o. B)y <-> <.x, y>. e. (A o. B))
2		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
3		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
4	2, 3	opelco 3288	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (A o. B) <-> E.z(xBz /\ zAy))
5		ancom 435	. . . . . 6 |- ((xBz /\ zAy) <-> (zAy /\ xBz))
6		visset 1813	. . . . . . . 8 |- z e. V
7	3, 6	brcnv 3299	. . . . . . 7 |- (y`'Az <-> zAy)
8	6, 2	brcnv 3299	. . . . . . 7 |- (z`'Bx <-> xBz)
9	7, 8	anbi12i 482	. . . . . 6 |- ((y`'Az /\ z`'Bx) <-> (zAy /\ xBz))
10	5, 9	bitr4 176	. . . . 5 |- ((xBz /\ zAy) <-> (y`'Az /\ z`'Bx))
11	10	exbii 1051	. . . 4 |- (E.z(xBz /\ zAy) <-> E.z(y`'Az /\ z`'Bx))
12	1, 4, 11	3bitr 177	. . 3 |- (x(A o. B)y <-> E.z(y`'Az /\ z`'Bx))
13	12	opabbii 2671	. 2 |- {<.y, x>. | x(A o. B)y} = {<.y, x>. | E.z(y`'Az /\ z`'Bx)}
14		df-cnv 3186	. 2 |- `'(A o. B) = {<.y, x>. | x(A o. B)y}
15		df-co 3187	. 2 |- (`'B o. `'A) = {<.y, x>. | E.z(y`'Az /\ z`'Bx)}
16	13, 14, 15	3eqtr4 1505	1 |- `'(A o. B) = (`'B o. `'A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  `'ccnv 3169   o. ccom 3174

This theorem is referenced by:  rncoss 3364  rncoeq 3367  dmco2 3504  cores2 3507  co01 3509  coi2 3511  cofunex2g 3581  f1co 3667  cnco 7768  cmphmp 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186  df-co 3187

Copyright terms: Public domain