MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvco Unicode version

Theorem cnvco 4818
Description: Distributive law of converse over class composition. Theorem 26 of [Suppes] p. 64. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cnvco  |-  `' ( A  o.  B )  =  ( `' B  o.  `' A )

Proof of Theorem cnvco
StepHypRef Expression
1 exancom 1584 . . . 4  |-  ( E. z ( x B z  /\  z A y )  <->  E. z
( z A y  /\  x B z ) )
2 vex 2743 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
3 vex 2743 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
42, 3brco 4805 . . . 4  |-  ( x ( A  o.  B
) y  <->  E. z
( x B z  /\  z A y ) )
5 vex 2743 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
63, 5brcnv 4817 . . . . . 6  |-  ( y `' A z  <->  z A
y )
75, 2brcnv 4817 . . . . . 6  |-  ( z `' B x  <->  x B
z )
86, 7anbi12i 681 . . . . 5  |-  ( ( y `' A z  /\  z `' B x )  <->  ( z A y  /\  x B z ) )
98exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. z ( y `' A z  /\  z `' B x )  <->  E. z
( z A y  /\  x B z ) )
101, 4, 93bitr4i 270 . . 3  |-  ( x ( A  o.  B
) y  <->  E. z
( y `' A
z  /\  z `' B x ) )
1110opabbii 4023 . 2  |-  { <. y ,  x >.  |  x ( A  o.  B
) y }  =  { <. y ,  x >.  |  E. z ( y `' A z  /\  z `' B x ) }
12 df-cnv 4642 . 2  |-  `' ( A  o.  B )  =  { <. y ,  x >.  |  x
( A  o.  B
) y }
13 df-co 4643 . 2  |-  ( `' B  o.  `' A
)  =  { <. y ,  x >.  |  E. z ( y `' A z  /\  z `' B x ) }
1411, 12, 133eqtr4i 2286 1  |-  `' ( A  o.  B )  =  ( `' B  o.  `' A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619   class class class wbr 3963   {copab 4016   `'ccnv 4625    o. ccom 4630
This theorem is referenced by:  rncoss  4898  rncoeq  4901  dmco  5133  cores2  5137  co01  5139  coi2  5141  relcnvtr  5144  dfdm2  5156  f1co  5349  cofunex2g  5639  fparlem3  6119  fparlem4  6120  suppfif1  7082  mapfien  7332  cnvps  14248  gimco  14659  gsumval3  15118  gsumzf1o  15123  cnco  16922  ptrescn  17260  qtopcn  17332  hmeoco  17390  cncombf  18940  deg1val  19409  cvmliftmolem1  23149  cvmlift2lem9a  23171  cvmlift2lem9  23179  relexpcnv  23366  trlcocnv  30039  tendoicl  30115  cdlemk45  30266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3964  df-opab 4018  df-cnv 4642  df-co 4643
  Copyright terms: Public domain W3C validator