MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvexg Unicode version

Theorem cnvexg 5396
Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnvexg  |-  ( A  e.  V  ->  `' A  e.  _V )

Proof of Theorem cnvexg
StepHypRef Expression
1 relcnv 5233 . . 3  |-  Rel  `' A
2 relssdmrn 5381 . . 3  |-  ( Rel  `' A  ->  `' A  C_  ( dom  `' A  X.  ran  `' A ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  `' A  C_  ( dom  `' A  X.  ran  `' A )
4 df-rn 4880 . . . 4  |-  ran  A  =  dom  `' A
5 rnexg 5122 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )
64, 5syl5eqelr 2520 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  dom  `' A  e.  _V )
7 dfdm4 5054 . . . 4  |-  dom  A  =  ran  `' A
8 dmexg 5121 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  dom  A  e.  _V )
97, 8syl5eqelr 2520 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ran  `' A  e.  _V )
10 xpexg 4980 . . 3  |-  ( ( dom  `' A  e. 
_V  /\  ran  `' A  e.  _V )  ->  ( dom  `' A  X.  ran  `' A )  e.  _V )
116, 9, 10syl2anc 643 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( dom  `' A  X.  ran  `' A )  e.  _V )
12 ssexg 4341 . 2  |-  ( ( `' A  C_  ( dom  `' A  X.  ran  `' A )  /\  ( dom  `' A  X.  ran  `' A )  e.  _V )  ->  `' A  e. 
_V )
133, 11, 12sylancr 645 1  |-  ( A  e.  V  ->  `' A  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312    X. cxp 4867   `'ccnv 4868   dom cdm 4869   ran crn 4870   Rel wrel 4874
This theorem is referenced by:  cnvex  5397  relcnvexb  5398  cofunex2g  5951  tposexg  6484  cnven  7173  fopwdom  7207  domssex2  7258  domssex  7259  cnvfi  7381  cantnfcl  7611  cantnflem1  7634  wemapwe  7643  fin1a2lem7  8275  fpwwe  8510  hasheqf1oi  11623  imasle  13736  cnvps  14632  gsumvalx  14762  symginv  15093  metustelOLD  18569  metustel  18570  metustssOLD  18571  metustss  18572  metustfbasOLD  18583  metustfbas  18584  metuel2  18597  metutopOLD  18600  psmetutop  18601  restmetu  18605  itg2gt0  19640  nlfnval  23372  cnvct  24095  orvcval  24703  coinfliprv  24728  relexpcnv  25121  relexprel  25122  pw2f1o2val  27047  lmhmlnmsplit  27100  xpexb  27572  lkrval  29725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-dm 4879  df-rn 4880
  Copyright terms: Public domain W3C validator