Theorem cnvhmph 10513

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism.

Assertion

Ref	Expression
cnvhmph	|- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (F e. (J Homeo K) <-> `'F e. (K Homeo J)))

Proof of Theorem cnvhmph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnvb 3708	. . . . . 6 |- (Rel F -> (F:U.J-1-1-onto->U.K <-> `'F:U.K-1-1-onto->U.J))
2	1	bicomd 523	. . . . 5 |- (Rel F -> (`'F:U.K-1-1-onto->U.J <-> F:U.J-1-1-onto->U.K))
3	2	adantl 390	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (`'F:U.K-1-1-onto->U.J <-> F:U.J-1-1-onto->U.K))
4		dfrel2 3491	. . . . . . . . 9 |- (Rel F <-> `'`'F = F)
5	4	biimp 151	. . . . . . . 8 |- (Rel F -> `'`'F = F)
6	5	imaeq1d 3409	. . . . . . 7 |- (Rel F -> (`'`'F"j) = (F"j))
7	6	eleq1d 1543	. . . . . 6 |- (Rel F -> ((`'`'F"j) e. K <-> (F"j) e. K))
8	7	ralbidv 1666	. . . . 5 |- (Rel F -> (A.j e. J (`'`'F"j) e. K <-> A.j e. J (F"j) e. K))
9	8	adantl 390	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (A.j e. J (`'`'F"j) e. K <-> A.j e. J (F"j) e. K))
10	3, 9	3anbi12d 896	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> ((`'F:U.K-1-1-onto->U.J /\ A.j e. J (`'`'F"j) e. K /\ A.j e. K (`'F"j) e. J) <-> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.j e. J (F"j) e. K /\ A.j e. K (`'F"j) e. J)))
11		3ancomb 785	. . 3 |- ((`'F:U.K-1-1-onto->U.J /\ A.j e. K (`'F"j) e. J /\ A.j e. J (`'`'F"j) e. K) <-> (`'F:U.K-1-1-onto->U.J /\ A.j e. J (`'`'F"j) e. K /\ A.j e. K (`'F"j) e. J))
12	10, 11	syl5bb 534	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> ((`'F:U.K-1-1-onto->U.J /\ A.j e. K (`'F"j) e. J /\ A.j e. J (`'`'F"j) e. K) <-> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.j e. J (F"j) e. K /\ A.j e. K (`'F"j) e. J)))
13		id 59	. . . . . 6 |- (K e. Top -> K e. Top)
14		id 59	. . . . . 6 |- (J e. Top -> J e. Top)
15		cnvexg 3525	. . . . . 6 |- (F e. A -> `'F e. V)
16	13, 14, 15	3anim123i 823	. . . . 5 |- ((K e. Top /\ J e. Top /\ F e. A) -> (K e. Top /\ J e. Top /\ `'F e. V))
17	16	3com12 839	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) -> (K e. Top /\ J e. Top /\ `'F e. V))
18	17	adantr 391	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (K e. Top /\ J e. Top /\ `'F e. V))
19		eqid 1478	. . . 4 |- U.K = U.K
20		eqid 1478	. . . 4 |- U.J = U.J
21	19, 20	ishomeo 10503	. . 3 |- ((K e. Top /\ J e. Top /\ `'F e. V) -> (`'F e. (K Homeo J) <-> (`'F:U.K-1-1-onto->U.J /\ A.j e. K (`'F"j) e. J /\ A.j e. J (`'`'F"j) e. K)))
22	18, 21	syl 10	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (`'F e. (K Homeo J) <-> (`'F:U.K-1-1-onto->U.J /\ A.j e. K (`'F"j) e. J /\ A.j e. J (`'`'F"j) e. K)))
23	20, 19	ishomeo 10503	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.j e. J (F"j) e. K /\ A.j e. K (`'F"j) e. J)))
24	23	adantr 391	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.j e. J (F"j) e. K /\ A.j e. K (`'F"j) e. J)))
25	12, 22, 24	3bitr4rd 553	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ Rel F) -> (F e. (J Homeo K) <-> `'F e. (K Homeo J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  Vcvv 1814  U.cuni 2507  `'ccnv 3175  "cima 3179  Rel wrel 3181  -1-1-onto->wf1o 3187  (class class class)co 3969  Topctop 7590   Homeo chomeosm 10499

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-homeo 10501

Copyright terms: Public domain