Theorem cnvi 3439

Description: The converse of the identity relation. Theorem 3.7(ii) of [Monk1] p. 36.

Assertion

Ref	Expression
cnvi	|- `'I = I

Proof of Theorem cnvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 3427	. 2 |- Rel `'I
2		reli 3268	. 2 |- Rel I
3		eqcom 1474	. . 3 |- (x = y <-> y = x)
4		df-br 2615	. . . 4 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
5		visset 1809	. . . . 5 |- y e. V
6	5	ideq 3272	. . . 4 |- (xIy <-> x = y)
7	4, 6	bitr3 175	. . 3 |- (<.x, y>. e. I <-> x = y)
8		visset 1809	. . . . 5 |- x e. V
9	8, 5	brcnv 3294	. . . 4 |- (x`'Iy <-> yIx)
10		df-br 2615	. . . 4 |- (x`'Iy <-> <.x, y>. e. `'I)
11	8	ideq 3272	. . . 4 |- (yIx <-> y = x)
12	9, 10, 11	3bitr3 181	. . 3 |- (<.x, y>. e. `'I <-> y = x)
13	3, 7, 12	3bitr4r 184	. 2 |- (<.x, y>. e. `'I <-> <.x, y>. e. I)
14	1, 2, 13	eqrelriv 3246	1 |- `'I = I

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  <.cop 2407   class class class wbr 2614  Icid 2826  `'ccnv 3164

This theorem is referenced by:  coi2 3503  funi 3537  cnvresid 3561  f1oi 3708  ssdomg 4395  idcn 7716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181

Copyright terms: Public domain