Theorem cnvopab 3437

Description: The converse of a class abstraction of ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
cnvopab	|- `'{<.x, y>. | ph} = {<.y, x>. | ph}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem cnvopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 3427	. 2 |- Rel `'{<.x, y>. | ph}
2		relopab 3261	. 2 |- Rel {<.y, x>. | ph}
3		visset 1809	. . . 4 |- w e. V
4		visset 1809	. . . 4 |- z e. V
5	3, 4	opelcnv 3293	. . 3 |- (<.w, z>. e. `'{<.x, y>. | ph} <-> <.z, w>. e. {<.x, y>. | ph})
6		ax-17 969	. . . . . 6 |- (y e. <.z, w>. -> A.x y e. <.z, w>.)
7		hbopab1 2808	. . . . . 6 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
8	6, 7	hbel 1563	. . . . 5 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} -> A.x<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph})
9		ax-17 969	. . . . . 6 |- (y e. <.w, z>. -> A.x y e. <.w, z>.)
10		hbopab2 2809	. . . . . 6 |- (z e. {<.y, x>. | ph} -> A.x z e. {<.y, x>. | ph})
11	9, 10	hbel 1563	. . . . 5 |- (<.w, z>. e. {<.y, x>. | ph} -> A.x<.w, z>. e. {<.y, x>. | ph})
12	8, 11	hbbi 1008	. . . 4 |- ((<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph}) -> A.x(<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph}))
13		opeq1 2483	. . . . . 6 |- (x = z -> <.x, w>. = <.z, w>.)
14	13	eleq1d 1537	. . . . 5 |- (x = z -> (<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.z, w>. e. {<.x, y>. | ph}))
15		opeq2 2484	. . . . . 6 |- (x = z -> <.w, x>. = <.w, z>.)
16	15	eleq1d 1537	. . . . 5 |- (x = z -> (<.w, x>. e. {<.y, x>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph}))
17	14, 16	bibi12d 628	. . . 4 |- (x = z -> ((<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph}) <-> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph})))
18		ax-17 969	. . . . . . 7 |- (z e. <.x, w>. -> A.y z e. <.x, w>.)
19		hbopab2 2809	. . . . . . 7 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
20	18, 19	hbel 1563	. . . . . 6 |- (<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} -> A.y<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph})
21		ax-17 969	. . . . . . 7 |- (z e. <.w, x>. -> A.y z e. <.w, x>.)
22		hbopab1 2808	. . . . . . 7 |- (z e. {<.y, x>. | ph} -> A.y z e. {<.y, x>. | ph})
23	21, 22	hbel 1563	. . . . . 6 |- (<.w, x>. e. {<.y, x>. | ph} -> A.y<.w, x>. e. {<.y, x>. | ph})
24	20, 23	hbbi 1008	. . . . 5 |- ((<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph}) -> A.y(<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph}))
25		opeq2 2484	. . . . . . 7 |- (y = w -> <.x, y>. = <.x, w>.)
26	25	eleq1d 1537	. . . . . 6 |- (y = w -> (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.x, w>. e. {<.x, y>. | ph}))
27		opeq1 2483	. . . . . . 7 |- (y = w -> <.y, x>. = <.w, x>.)
28	27	eleq1d 1537	. . . . . 6 |- (y = w -> (<.y, x>. e. {<.y, x>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph}))
29	26, 28	bibi12d 628	. . . . 5 |- (y = w -> ((<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.y, x>. e. {<.y, x>. | ph}) <-> (<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph})))
30		opabid 2805	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)
31		opabid 2805	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. {<.y, x>. | ph} <-> ph)
32	30, 31	bitr4 176	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.y, x>. e. {<.y, x>. | ph})
33	24, 29, 32	chvar 1165	. . . 4 |- (<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph})
34	12, 17, 33	chvar 1165	. . 3 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph})
35	5, 34	bitr 173	. 2 |- (<.w, z>. e. `'{<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph})
36	1, 2, 35	eqrelriv 3246	1 |- `'{<.x, y>. | ph} = {<.y, x>. | ph}

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 954   e. wcel 956  <.cop 2407  {copab 2661  `'ccnv 3164

This theorem is referenced by:  en2d 4387  cnvadj 9756

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181

Copyright terms: Public domain