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Theorem cnvordtrestixx 23312
Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvordtrestixx.1  |-  A  C_  RR*
cnvordtrestixx.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
Assertion
Ref Expression
cnvordtrestixx  |-  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A
) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cnvordtrestixx
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 14365 . . . . . . 7  |-  <_  e.  TosetRel
2 tsrps 14346 . . . . . . 7  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
31, 2ax-mp 8 . . . . . 6  |-  <_  e.  PosetRel
4 ledm 14362 . . . . . . 7  |-  RR*  =  dom  <_
54psrn 14334 . . . . . 6  |-  (  <_  e. 
PosetRel  ->  RR*  =  ran  <_  )
63, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  RR*  =  ran  <_
7 df-rn 4716 . . . . 5  |-  ran  <_  =  dom  `'  <_
86, 7eqtri 2316 . . . 4  |-  RR*  =  dom  `'  <_
9 cnvtsr 14347 . . . . . 6  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  `'  <_  e.  TosetRel  )
101, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  `'  <_  e.  TosetRel
1110a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  `'  <_  e.  TosetRel  )
12 cnvordtrestixx.1 . . . . 5  |-  A  C_  RR*
1312a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  A  C_  RR* )
14 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )
15 brcnvg 4878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  RR* )  -> 
( y `'  <_  z  <-> 
z  <_  y )
)
1614, 15sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( y `'  <_  z  <->  z  <_  y ) )
17 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  z  e.  RR* )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
1918adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  x  e.  A )
20 brcnvg 4878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  x  e.  A )  ->  (
z `'  <_  x  <->  x  <_  z ) )
2117, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( z `'  <_  x  <->  x  <_  z ) )
2216, 21anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( (
y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x
)  <->  ( z  <_ 
y  /\  x  <_  z ) ) )
23 ancom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  <_  y  /\  x  <_  z )  <->  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) )
2423a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( (
z  <_  y  /\  x  <_  z )  <->  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) ) )
2522, 24bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( (
y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x
)  <->  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
2625rabbidva 2792 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x ) }  =  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
2712, 18sseldi 3191 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
2812, 14sseldi 3191 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
29 iccval 10711 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x [,] y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) } )
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  =  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
31 cnvordtrestixx.2 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
3231ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
3330, 32eqsstr3d 3226 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  C_  A )
3426, 33eqsstrd 3225 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x ) }  C_  A
)
3534adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )  ->  { z  e.  RR*  |  ( y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x ) }  C_  A
)
368, 11, 13, 35ordtrest2 16950 . . 3  |-  (  T. 
->  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( (ordTop `  `'  <_  )t  A ) )
3736trud 1314 . 2  |-  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( (ordTop `  `'  <_  )t  A )
38 ordtcnv 16947 . . . 4  |-  (  <_  e. 
PosetRel  ->  (ordTop `  `'  <_  )  =  (ordTop `  <_  ) )
393, 38ax-mp 8 . . 3  |-  (ordTop `  `'  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
4039oveq1i 5884 . 2  |-  ( (ordTop `  `'  <_  )t  A )  =  ( (ordTop `  <_  )t  A )
4137, 40eqtr2i 2317 1  |-  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RR*cxr 8882    <_ cle 8884   [,]cicc 10675   ↾t crest 13341  ordTopcordt 13414   PosetRelcps 14317    TosetRel ctsr 14318
This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  23333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-icc 10679  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-ordt 13418  df-ps 14322  df-tsr 14323  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655
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