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Theorem cnvordtrestixx 24303
Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvordtrestixx.1  |-  A  C_  RR*
cnvordtrestixx.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
Assertion
Ref Expression
cnvordtrestixx  |-  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A
) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cnvordtrestixx
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lern 14662 . . . . 5  |-  RR*  =  ran  <_
2 df-rn 4881 . . . . 5  |-  ran  <_  =  dom  `'  <_
31, 2eqtri 2455 . . . 4  |-  RR*  =  dom  `'  <_
4 letsr 14664 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
5 cnvtsr 14646 . . . . . 6  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  `'  <_  e.  TosetRel  )
64, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  `'  <_  e.  TosetRel
76a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  `'  <_  e.  TosetRel  )
8 cnvordtrestixx.1 . . . . 5  |-  A  C_  RR*
98a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  A  C_  RR* )
10 brcnvg 5045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  RR* )  -> 
( y `'  <_  z  <-> 
z  <_  y )
)
1110adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( y `'  <_  z  <->  z  <_  y ) )
12 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  z  e.  RR* )
13 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  x  e.  A )
14 brcnvg 5045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  x  e.  A )  ->  (
z `'  <_  x  <->  x  <_  z ) )
1512, 13, 14syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( z `'  <_  x  <->  x  <_  z ) )
1611, 15anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( (
y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x
)  <->  ( z  <_ 
y  /\  x  <_  z ) ) )
17 ancom 438 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  <_  y  /\  x  <_  z )  <->  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) )
1816, 17syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( (
y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x
)  <->  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
1918rabbidva 2939 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x ) }  =  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
20 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
218, 20sseldi 3338 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
22 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )
238, 22sseldi 3338 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
24 iccval 10947 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x [,] y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) } )
2521, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  =  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
26 cnvordtrestixx.2 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
2726ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
2825, 27eqsstr3d 3375 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  C_  A )
2919, 28eqsstrd 3374 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x ) }  C_  A
)
3029adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )  ->  { z  e.  RR*  |  ( y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x ) }  C_  A
)
313, 7, 9, 30ordtrest2 17260 . . 3  |-  (  T. 
->  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( (ordTop `  `'  <_  )t  A ) )
3231trud 1332 . 2  |-  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( (ordTop `  `'  <_  )t  A )
33 tsrps 14645 . . . . 5  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
344, 33ax-mp 8 . . . 4  |-  <_  e.  PosetRel
35 ordtcnv 17257 . . . 4  |-  (  <_  e. 
PosetRel  ->  (ordTop `  `'  <_  )  =  (ordTop `  <_  ) )
3634, 35ax-mp 8 . . 3  |-  (ordTop `  `'  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
3736oveq1i 6083 . 2  |-  ( (ordTop `  `'  <_  )t  A )  =  ( (ordTop `  <_  )t  A )
3832, 37eqtr2i 2456 1  |-  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111    <_ cle 9113   [,]cicc 10911   ↾t crest 13640  ordTopcordt 13713   PosetRelcps 14616    TosetRel ctsr 14617
This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  24314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-icc 10915  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-ordt 13717  df-ps 14621  df-tsr 14622  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958
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