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Theorem cnvordtrestixx 24117
Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvordtrestixx.1  |-  A  C_  RR*
cnvordtrestixx.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
Assertion
Ref Expression
cnvordtrestixx  |-  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A
) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cnvordtrestixx
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lern 14599 . . . . 5  |-  RR*  =  ran  <_
2 df-rn 4831 . . . . 5  |-  ran  <_  =  dom  `'  <_
31, 2eqtri 2409 . . . 4  |-  RR*  =  dom  `'  <_
4 letsr 14601 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
5 cnvtsr 14583 . . . . . 6  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  `'  <_  e.  TosetRel  )
64, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  `'  <_  e.  TosetRel
76a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  `'  <_  e.  TosetRel  )
8 cnvordtrestixx.1 . . . . 5  |-  A  C_  RR*
98a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  A  C_  RR* )
10 brcnvg 4995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  RR* )  -> 
( y `'  <_  z  <-> 
z  <_  y )
)
1110adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( y `'  <_  z  <->  z  <_  y ) )
12 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  z  e.  RR* )
13 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  x  e.  A )
14 brcnvg 4995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  x  e.  A )  ->  (
z `'  <_  x  <->  x  <_  z ) )
1512, 13, 14syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( z `'  <_  x  <->  x  <_  z ) )
1611, 15anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( (
y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x
)  <->  ( z  <_ 
y  /\  x  <_  z ) ) )
17 ancom 438 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  <_  y  /\  x  <_  z )  <->  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) )
1816, 17syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  RR* )  ->  ( (
y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x
)  <->  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
1918rabbidva 2892 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x ) }  =  {
z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
20 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
218, 20sseldi 3291 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
22 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )
238, 22sseldi 3291 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
24 iccval 10889 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x [,] y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) } )
2521, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  =  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
26 cnvordtrestixx.2 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
2726ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
2825, 27eqsstr3d 3328 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  C_  A )
2919, 28eqsstrd 3327 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x ) }  C_  A
)
3029adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )  ->  { z  e.  RR*  |  ( y `'  <_  z  /\  z `'  <_  x ) }  C_  A
)
313, 7, 9, 30ordtrest2 17192 . . 3  |-  (  T. 
->  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( (ordTop `  `'  <_  )t  A ) )
3231trud 1329 . 2  |-  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( (ordTop `  `'  <_  )t  A )
33 tsrps 14582 . . . . 5  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
344, 33ax-mp 8 . . . 4  |-  <_  e.  PosetRel
35 ordtcnv 17189 . . . 4  |-  (  <_  e. 
PosetRel  ->  (ordTop `  `'  <_  )  =  (ordTop `  <_  ) )
3634, 35ax-mp 8 . . 3  |-  (ordTop `  `'  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
3736oveq1i 6032 . 2  |-  ( (ordTop `  `'  <_  )t  A )  =  ( (ordTop `  <_  )t  A )
3832, 37eqtr2i 2410 1  |-  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( A  X.  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2655    i^i cin 3264    C_ wss 3265   class class class wbr 4155    X. cxp 4818   `'ccnv 4819   dom cdm 4820   ran crn 4821   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RR*cxr 9054    <_ cle 9056   [,]cicc 10853   ↾t crest 13577  ordTopcordt 13650   PosetRelcps 14553    TosetRel ctsr 14554
This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  24128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-icc 10857  df-rest 13579  df-topgen 13596  df-ordt 13654  df-ps 14558  df-tsr 14559  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891
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