Theorem cnvpo 3518

Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation.

Assertion

Ref	Expression
cnvpo	|- (R Po A <-> `'R Po A)

Proof of Theorem cnvpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 1748	. . . . . . . 8 |- (A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> (A.z e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
2	1	ralbii 1665	. . . . . . 7 |- (A.x e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.x e. A (A.z e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
3		r19.26 1748	. . . . . . 7 |- (A.x e. A (A.z e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> (A.x e. A A.z e. A -. xRx /\ A.x e. A A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
4		ralidm 2354	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. A A.x e. A -. xRx <-> A.x e. A -. xRx)
5		pm5.1 675	. . . . . . . . . . 11 |- ((A.x e. A -. xRx /\ A.x e. A A.z e. A -. xRx) -> (A.x e. A -. xRx <-> A.x e. A A.z e. A -. xRx))
6		rzal 2352	. . . . . . . . . . 11 |- (A = (/) -> A.x e. A -. xRx)
7		rzal 2352	. . . . . . . . . . 11 |- (A = (/) -> A.x e. A A.z e. A -. xRx)
8	5, 6, 7	sylanc 471	. . . . . . . . . 10 |- (A = (/) -> (A.x e. A -. xRx <-> A.x e. A A.z e. A -. xRx))
9		r19.3rzv 2345	. . . . . . . . . . 11 |- (A =/= (/) -> (-. xRx <-> A.z e. A -. xRx))
10	9	ralbidv 1661	. . . . . . . . . 10 |- (A =/= (/) -> (A.x e. A -. xRx <-> A.x e. A A.z e. A -. xRx))
11	8, 10	pm2.61ine 1632	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. A -. xRx <-> A.x e. A A.z e. A -. xRx)
12	4, 11	bitr2 174	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A A.z e. A -. xRx <-> A.x e. A A.x e. A -. xRx)
13	12	anbi1i 481	. . . . . . 7 |- ((A.x e. A A.z e. A -. xRx /\ A.x e. A A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> (A.x e. A A.x e. A -. xRx /\ A.x e. A A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
14	2, 3, 13	3bitr 177	. . . . . 6 |- (A.x e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> (A.x e. A A.x e. A -. xRx /\ A.x e. A A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
15		r19.26 1748	. . . . . 6 |- (A.x e. A (A.x e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> (A.x e. A A.x e. A -. xRx /\ A.x e. A A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
16	14, 15	bitr4 176	. . . . 5 |- (A.x e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.x e. A (A.x e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
17		r19.26 1748	. . . . . . 7 |- (A.z e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)) <-> (A.z e. A -. z`'Rz /\ A.z e. A ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
18		id 59	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = x -> z = x)
19	18, 18	breq12d 2627	. . . . . . . . . . 11 |- (z = x -> (zRz <-> xRx))
20		visset 1810	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. V
21	20, 20	brcnv 3295	. . . . . . . . . . 11 |- (z`'Rz <-> zRz)
22	19, 21	syl5bb 531	. . . . . . . . . 10 |- (z = x -> (z`'Rz <-> xRx))
23	22	negbid 610	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (-. z`'Rz <-> -. xRx))
24	23	cbvralv 1797	. . . . . . . 8 |- (A.z e. A -. z`'Rz <-> A.x e. A -. xRx)
25		visset 1810	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. V
26	20, 25	brcnv 3295	. . . . . . . . . . . 12 |- (z`'Ry <-> yRz)
27		visset 1810	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. V
28	25, 27	brcnv 3295	. . . . . . . . . . . 12 |- (y`'Rx <-> xRy)
29	26, 28	anbi12i 482	. . . . . . . . . . 11 |- ((z`'Ry /\ y`'Rx) <-> (yRz /\ xRy))
30		ancom 435	. . . . . . . . . . 11 |- ((yRz /\ xRy) <-> (xRy /\ yRz))
31	29, 30	bitr 173	. . . . . . . . . 10 |- ((z`'Ry /\ y`'Rx) <-> (xRy /\ yRz))
32	20, 27	brcnv 3295	. . . . . . . . . 10 |- (z`'Rx <-> xRz)
33	31, 32	imbi12i 188	. . . . . . . . 9 |- (((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx) <-> ((xRy /\ yRz) -> xRz))
34	33	ralbii 1665	. . . . . . . 8 |- (A.z e. A ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx) <-> A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz))
35	24, 34	anbi12i 482	. . . . . . 7 |- ((A.z e. A -. z`'Rz /\ A.z e. A ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)) <-> (A.x e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
36	17, 35	bitr2 174	. . . . . 6 |- ((A.x e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.z e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
37	36	ralbii 1665	. . . . 5 |- (A.x e. A (A.x e. A -. xRx /\ A.z e. A ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.x e. A A.z e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
38		ralcom 1772	. . . . 5 |- (A.x e. A A.z e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)) <-> A.z e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
39	16, 37, 38	3bitr 177	. . . 4 |- (A.x e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.z e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
40	39	ralbii 1665	. . 3 |- (A.y e. A A.x e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.y e. A A.z e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
41		ralcom 1772	. . 3 |- (A.x e. A A.y e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.y e. A A.x e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
42		ralcom 1772	. . 3 |- (A.z e. A A.y e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)) <-> A.y e. A A.z e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
43	40, 41, 42	3bitr4 183	. 2 |- (A.x e. A A.y e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)) <-> A.z e. A A.y e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
44		df-po 2836	. 2 |- (R Po A <-> A.x e. A A.y e. A A.z e. A (-. xRx /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
45		df-po 2836	. 2 |- (`'R Po A <-> A.z e. A A.y e. A A.x e. A (-. z`'Rz /\ ((z`'Ry /\ y`'Rx) -> z`'Rx)))
46	43, 44, 45	3bitr4 183	1 |- (R Po A <-> `'R Po A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   =/= wne 1583  A.wral 1643  (/)c0 2277   class class class wbr 2615   Po wpo 2834  `'ccnv 3165

This theorem is referenced by:  cnvso 3519

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-br 2616  df-opab 2663  df-po 2836  df-cnv 3182

Copyright terms: Public domain