Theorem cnvsn 3441

Description: Converse of a singleton of an ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. V
cnvsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
cnvsn	|- `'{<.A, B>.} = {<.B, A>.}

Proof of Theorem cnvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 3427	. 2 |- Rel `'{<.A, B>.}
2		cnvsn.2	. . 3 |- B e. V
3	2	relsn 3249	. 2 |- Rel {<.B, A>.}
4		ancom 435	. . 3 |- ((y = B /\ x = A) <-> (x = A /\ y = B))
5		opex 2777	. . . . 5 |- <.y, x>. e. V
6	5	elsnc 2427	. . . 4 |- (<.y, x>. e. {<.B, A>.} <-> <.y, x>. = <.B, A>.)
7		visset 1809	. . . . 5 |- y e. V
8		visset 1809	. . . . 5 |- x e. V
9		cnvsn.1	. . . . 5 |- A e. V
10	7, 8, 9	opth 2782	. . . 4 |- (<.y, x>. = <.B, A>. <-> (y = B /\ x = A))
11	6, 10	bitr 173	. . 3 |- (<.y, x>. e. {<.B, A>.} <-> (y = B /\ x = A))
12	7, 8	opelcnv 3293	. . . 4 |- (<.y, x>. e. `'{<.A, B>.} <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})
13		opex 2777	. . . . 5 |- <.x, y>. e. V
14	13	elsnc 2427	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
15	8, 7, 2	opth 2782	. . . 4 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ y = B))
16	12, 14, 15	3bitr 177	. . 3 |- (<.y, x>. e. `'{<.A, B>.} <-> (x = A /\ y = B))
17	4, 11, 16	3bitr4r 184	. 2 |- (<.y, x>. e. `'{<.A, B>.} <-> <.y, x>. e. {<.B, A>.})
18	1, 3, 17	eqrelriv 3246	1 |- `'{<.A, B>.} = {<.B, A>.}

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  {csn 2405  <.cop 2407  `'ccnv 3164

This theorem is referenced by:  rnsnop 3442  op2ndb 3443  op2nda 3444  f1osn 3710  xpcomen 4425

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181

Copyright terms: Public domain