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Theorem cnvso 5403
Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
cnvso  |-  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A )

Proof of Theorem cnvso
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvpo 5402 . . 3  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )
2 ralcom 2860 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
3 vex 2951 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
4 vex 2951 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
53, 4brcnv 5047 . . . . . 6  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
6 equcom 1692 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
74, 3brcnv 5047 . . . . . 6  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
85, 6, 73orbi123i 1143 . . . . 5  |-  ( ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y )  <->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
982ralbii 2723 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
102, 9bitr4i 244 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R y ) )
111, 10anbi12i 679 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R y ) ) )
12 df-so 4496 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
13 df-so 4496 . 2  |-  ( `' R  Or  A  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
y `' R x  \/  y  =  x  \/  x `' R
y ) ) )
1411, 12, 133bitr4i 269 1  |-  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935   A.wral 2697   class class class wbr 4204    Po wpo 4493    Or wor 4494   `'ccnv 4869
This theorem is referenced by:  wofib  7506  oemapso  7630  cflim2  8135  fin23lem40  8223  lbinfm  9953  infmsup  9978  infmrgelb  9980  infmrlb  9981  infmxrcl  10887  infmxrlb  10904  infmxrgelb  10905  xrinfm0  10907  limsupval  12260  odzval  13169  ramval  13368  ramcl2lem  13369  imasdsfn  13732  imasdsval  13733  odval  15164  odf  15167  gexval  15204  nmoval  18741  metdsval  18869  ovolval  19362  ovolf  19370  dvlt0  19881  elqaalem1  20228  elqaalem3  20230  aalioulem2  20242  tosglb  24184  xrge0iifiso  24313  ballotlemi  24750  ballotlemiex  24751  ballotlemsup  24754  ballotlemimin  24755  ballotlemfrcn0  24779  ballotlemirc  24781  erdszelem9  24877  erdszelem11  24879  inffz  25192  gtinf  26313  welb  26429  rencldnfilem  26872  pellfundval  26934  dgraaval  27317  dgraaf  27320  infrglb  27689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-po 4495  df-so 4496  df-cnv 4878
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