Theorem cnvss 3288

Description: Subset theorem for converse.

Assertion

Ref	Expression
cnvss	|- (A (_ B -> `'A (_ `'B)

Proof of Theorem cnvss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2061	. . . . 5 |- (A (_ B -> (<.y, x>. e. A -> <.y, x>. e. B))
2		df-br 2617	. . . . 5 |- (yAx <-> <.y, x>. e. A)
3		df-br 2617	. . . . 5 |- (yBx <-> <.y, x>. e. B)
4	1, 2, 3	3imtr4g 552	. . . 4 |- (A (_ B -> (yAx -> yBx))
5	4	19.21aivv 1287	. . 3 |- (A (_ B -> A.xA.y(yAx -> yBx))
6		ssopab2 2819	. . 3 |- ({<.x, y>. | yAx} (_ {<.x, y>. | yBx} <-> A.xA.y(yAx -> yBx))
7	5, 6	sylibr 200	. 2 |- (A (_ B -> {<.x, y>. | yAx} (_ {<.x, y>. | yBx})
8		df-cnv 3183	. 2 |- `'A = {<.x, y>. | yAx}
9		df-cnv 3183	. 2 |- `'B = {<.x, y>. | yBx}
10	7, 8, 9	3sstr4g 2100	1 |- (A (_ B -> `'A (_ `'B)

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 953   e. wcel 957   (_ wss 2045  <.cop 2409   class class class wbr 2616  {copab 2663  `'ccnv 3166

This theorem is referenced by:  cnveq 3289  rnss 3339  funcnvuni 3561  funres11 3564  funcnvres 3565  fodom 4785

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-br 2617  df-opab 2664  df-cnv 3183

Copyright terms: Public domain