MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvsym Unicode version

Theorem cnvsym 4964
Description: Two ways of saying a relation is symmetric. Similar to definition of symmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cnvsym  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem cnvsym
StepHypRef Expression
1 alcom 1568 . 2  |-  ( A. y A. x ( <.
y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R
)  <->  A. x A. y
( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
2 relcnv 4958 . . 3  |-  Rel  `' R
3 ssrel 4683 . . 3  |-  ( Rel  `' R  ->  ( `' R  C_  R  <->  A. y A. x ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) ) )
42, 3ax-mp 10 . 2  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. y A. x ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
5 vex 2730 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
6 vex 2730 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
75, 6brcnv 4771 . . . . 5  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
8 df-br 3921 . . . . 5  |-  ( y `' R x  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
97, 8bitr3i 244 . . . 4  |-  ( x R y  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
10 df-br 3921 . . . 4  |-  ( y R x  <->  <. y ,  x >.  e.  R
)
119, 10imbi12i 318 . . 3  |-  ( ( x R y  -> 
y R x )  <-> 
( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
12112albii 1555 . 2  |-  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  <->  A. x A. y ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
131, 4, 123bitr4i 270 1  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178   A.wal 1532    e. wcel 1621    C_ wss 3078   <.cop 3547   class class class wbr 3920   `'ccnv 4579   Rel wrel 4585
This theorem is referenced by:  dfer2  6547  twsymr  24243
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596
  Copyright terms: Public domain W3C validator