MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvsym Unicode version

Theorem cnvsym 5059
Description: Two ways of saying a relation is symmetric. Similar to definition of symmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cnvsym  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem cnvsym
StepHypRef Expression
1 alcom 1713 . 2  |-  ( A. y A. x ( <.
y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R
)  <->  A. x A. y
( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
2 relcnv 5053 . . 3  |-  Rel  `' R
3 ssrel 4778 . . 3  |-  ( Rel  `' R  ->  ( `' R  C_  R  <->  A. y A. x ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. y A. x ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
5 vex 2793 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
6 vex 2793 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
75, 6brcnv 4866 . . . . 5  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
8 df-br 4026 . . . . 5  |-  ( y `' R x  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
97, 8bitr3i 242 . . . 4  |-  ( x R y  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
10 df-br 4026 . . . 4  |-  ( y R x  <->  <. y ,  x >.  e.  R
)
119, 10imbi12i 316 . . 3  |-  ( ( x R y  -> 
y R x )  <-> 
( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
12112albii 1556 . 2  |-  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  <->  A. x A. y ( <. y ,  x >.  e.  `' R  ->  <. y ,  x >.  e.  R ) )
131, 4, 123bitr4i 268 1  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1529    e. wcel 1686    C_ wss 3154   <.cop 3645   class class class wbr 4025   `'ccnv 4690   Rel wrel 4696
This theorem is referenced by:  dfer2  6663  twsymr  25089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-br 4026  df-opab 4080  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699
  Copyright terms: Public domain W3C validator