Theorem cnvuni 3301

Description: The converse of a class union is the (indexed) union of the converses of its members.

Assertion

Ref	Expression
cnvuni	|- `'U.A = U_x e. A `'x

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem cnvuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnv2 3294	. . . 4 |- (y e. `'U.A <-> E.zE.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. U.A))
2		eluni2 2507	. . . . . . 7 |- (<.w, z>. e. U.A <-> E.x e. A <.w, z>. e. x)
3	2	anbi2i 480	. . . . . 6 |- ((y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. U.A) <-> (y = <.z, w>. /\ E.x e. A <.w, z>. e. x))
4		r19.42v 1764	. . . . . 6 |- (E.x e. A (y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x) <-> (y = <.z, w>. /\ E.x e. A <.w, z>. e. x))
5	3, 4	bitr4 176	. . . . 5 |- ((y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. U.A) <-> E.x e. A (y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
6	5	2exbii 1052	. . . 4 |- (E.zE.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. U.A) <-> E.zE.wE.x e. A (y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
7		elcnv2 3294	. . . . . 6 |- (y e. `'x <-> E.zE.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
8	7	rexbii 1668	. . . . 5 |- (E.x e. A y e. `'x <-> E.x e. A E.zE.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
9		rexcom4 1824	. . . . 5 |- (E.x e. A E.zE.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x) <-> E.zE.x e. A E.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
10		rexcom4 1824	. . . . . 6 |- (E.x e. A E.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x) <-> E.wE.x e. A (y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
11	10	exbii 1051	. . . . 5 |- (E.zE.x e. A E.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x) <-> E.zE.wE.x e. A (y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
12	8, 9, 11	3bitrr 178	. . . 4 |- (E.zE.wE.x e. A (y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x) <-> E.x e. A y e. `'x)
13	1, 6, 12	3bitr 177	. . 3 |- (y e. `'U.A <-> E.x e. A y e. `'x)
14		eliun 2570	. . 3 |- (y e. U_x e. A `'x <-> E.x e. A y e. `'x)
15	13, 14	bitr4 176	. 2 |- (y e. `'U.A <-> y e. U_x e. A `'x)
16	15	eqriv 1474	1 |- `'U.A = U_x e. A `'x

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  E.wrex 1646  <.cop 2411  U.cuni 2503  U_ciun 2566  `'ccnv 3169

This theorem is referenced by:  funcnvuni 3564

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186

Copyright terms: Public domain