HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnvunop Unicode version

Theorem cnvunop 22514
Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvunop  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T  e.  UniOp )

Proof of Theorem cnvunop
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 22512 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )
2 f1ocnv 5501 . . . 4  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H -1-1-onto-> ~H )
3 f1ofo 5495 . . . 4  |-  ( `' T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H -onto-> ~H )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H -onto-> ~H )
51, 4syl 15 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T : ~H -onto-> ~H )
6 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  T  e.  UniOp
)
7 fof 5467 . . . . . . . 8  |-  ( `' T : ~H -onto-> ~H  ->  `' T : ~H --> ~H )
85, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T : ~H --> ~H )
9 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( `' T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( `' T `  x )  e.  ~H )
108, 9sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H )  ->  ( `' T `  x )  e.  ~H )
1110adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( `' T `  x )  e.  ~H )
12 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( `' T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( `' T `  y )  e.  ~H )
138, 12sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( `' T `  y )  e.  ~H )
1413adantrl 696 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( `' T `  y )  e.  ~H )
15 unop 22511 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  ( `' T `  x )  e.  ~H  /\  ( `' T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  ( `' T `  x ) )  .ih  ( T `
 ( `' T `  y ) ) )  =  ( ( `' T `  x ) 
.ih  ( `' T `  y ) ) )
166, 11, 14, 15syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  ( `' T `  x )
)  .ih  ( T `  ( `' T `  y ) ) )  =  ( ( `' T `  x ) 
.ih  ( `' T `  y ) ) )
17 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . 7  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  ( T `  ( `' T `  x )
)  =  x )
1817adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( T `  ( `' T `  x ) )  =  x )
19 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . 7  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  ( T `  ( `' T `  y )
)  =  y )
2019adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( T `  ( `' T `  y ) )  =  y )
2118, 20oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  ( `' T `  x ) )  .ih  ( T `
 ( `' T `  y ) ) )  =  ( x  .ih  y ) )
221, 21sylan 457 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  ( `' T `  x )
)  .ih  ( T `  ( `' T `  y ) ) )  =  ( x  .ih  y ) )
2316, 22eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( `' T `  x ) 
.ih  ( `' T `  y ) )  =  ( x  .ih  y
) )
2423ralrimivva 2648 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( `' T `  x ) 
.ih  ( `' T `  y ) )  =  ( x  .ih  y
) )
25 elunop 22468 . 2  |-  ( `' T  e.  UniOp  <->  ( `' T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( `' T `  x )  .ih  ( `' T `  y ) )  =  ( x 
.ih  y ) ) )
265, 24, 25sylanbrc 645 1  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T  e.  UniOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   `'ccnv 4704   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ~Hchil 21515    .ih csp 21518   UniOpcuo 21545
This theorem is referenced by:  unoplin  22516  unopadj2  22534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-hvsub 21567  df-unop 22439
  Copyright terms: Public domain W3C validator