Theorem cnvunopt 9758

Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72.

Assertion

Ref	Expression
cnvunopt	|- (T e. UniOp -> `'T e. UniOp)

Proof of Theorem cnvunopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1ot 9756	. . . 4 |- (T e. UniOp -> T:H~-1-1-onto->H~)
2		f1ocnv 3686	. . . . 5 |- (T:H~-1-1-onto->H~ -> `'T:H~-1-1-onto->H~)
3		f1ofo 3680	. . . . 5 |- (`'T:H~-1-1-onto->H~ -> `'T:H~-onto->H~)
4	2, 3	syl 10	. . . 4 |- (T:H~-1-1-onto->H~ -> `'T:H~-onto->H~)
5	1, 4	syl 10	. . 3 |- (T e. UniOp -> `'T:H~-onto->H~)
6		unopt 9755	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (`'T` x) e. H~ /\ (`'T` y) e. H~) -> ((T` (`'T` x)) .ih (T` (`'T` y))) = ((`'T` x) .ih (`'T` y)))
7		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> T e. UniOp)
8		ffvelrn 3799	. . . . . . . . 9 |- ((`'T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (`'T` x) e. H~)
9		fof 3657	. . . . . . . . . 10 |- (`'T:H~-onto->H~ -> `'T:H~-->H~)
10	5, 9	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (T e. UniOp -> `'T:H~-->H~)
11	8, 10	sylan 448	. . . . . . . 8 |- ((T e. UniOp /\ x e. H~) -> (`'T` x) e. H~)
12	11	adantrr 395	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (`'T` x) e. H~)
13		ffvelrn 3799	. . . . . . . . 9 |- ((`'T:H~-->H~ /\ y e. H~) -> (`'T` y) e. H~)
14	13, 10	sylan 448	. . . . . . . 8 |- ((T e. UniOp /\ y e. H~) -> (`'T` y) e. H~)
15	14	adantrl 394	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (`'T` y) e. H~)
16	6, 7, 12, 15	syl3anc 856	. . . . . 6 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` (`'T` x)) .ih (T` (`'T` y))) = ((`'T` x) .ih (`'T` y)))
17		f1ocnvfv2 3864	. . . . . . . . 9 |- ((T:H~-1-1-onto->H~ /\ x e. H~) -> (T` (`'T` x)) = x)
18	17	adantrr 395	. . . . . . . 8 |- ((T:H~-1-1-onto->H~ /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (T` (`'T` x)) = x)
19		f1ocnvfv2 3864	. . . . . . . . 9 |- ((T:H~-1-1-onto->H~ /\ y e. H~) -> (T` (`'T` y)) = y)
20	19	adantrl 394	. . . . . . . 8 |- ((T:H~-1-1-onto->H~ /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (T` (`'T` y)) = y)
21	18, 20	opreq12d 3963	. . . . . . 7 |- ((T:H~-1-1-onto->H~ /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` (`'T` x)) .ih (T` (`'T` y))) = (x .ih y))
22	21, 1	sylan 448	. . . . . 6 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` (`'T` x)) .ih (T` (`'T` y))) = (x .ih y))
23	16, 22	eqtr3d 1501	. . . . 5 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y))
24	23	ex 373	. . . 4 |- (T e. UniOp -> ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y)))
25	24	r19.21aivv 1712	. . 3 |- (T e. UniOp -> A.x e. H~ A.y e. H~ ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y))
26	5, 25	jca 288	. 2 |- (T e. UniOp -> (`'T:H~-onto->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y)))
27		elunopt 9716	. 2 |- (`'T e. UniOp <-> (`'T:H~-onto->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y)))
28	26, 27	sylibr 200	1 |- (T e. UniOp -> `'T e. UniOp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  `'ccnv 3159  -->wf 3168  -onto->wfo 3170  -1-1-onto->wf1o 3171  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  H~chil 8727   .ih csp 8732  UniOpcuo 8757

This theorem is referenced by:  unoplint 9760  unopadj2t 9778

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-hvsub 8779  df-unop 9686

Copyright terms: Public domain