Theorem cnvxp 3460

Description: The converse of a cross product. Exercise 11 of [Suppes] p. 67.

Assertion

Ref	Expression
cnvxp	|- `'(A X. B) = (B X. A)

Proof of Theorem cnvxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 3431	. 2 |- Rel `'(A X. B)
2		relxp 3251	. 2 |- Rel (B X. A)
3		visset 1810	. . . 4 |- x e. V
4		visset 1810	. . . 4 |- y e. V
5	3, 4	opelcnv 3294	. . 3 |- (<.x, y>. e. `'(A X. B) <-> <.y, x>. e. (A X. B))
6		ancom 435	. . . 4 |- ((y e. A /\ x e. B) <-> (x e. B /\ y e. A))
7	3	opelxp 3210	. . . 4 |- (<.y, x>. e. (A X. B) <-> (y e. A /\ x e. B))
8	4	opelxp 3210	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (B X. A) <-> (x e. B /\ y e. A))
9	6, 7, 8	3bitr4 183	. . 3 |- (<.y, x>. e. (A X. B) <-> <.x, y>. e. (B X. A))
10	5, 9	bitr 173	. 2 |- (<.x, y>. e. `'(A X. B) <-> <.x, y>. e. (B X. A))
11	1, 2, 10	eqrelriv 3247	1 |- `'(A X. B) = (B X. A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  <.cop 2408   X. cxp 3164  `'ccnv 3165

This theorem is referenced by:  xp0 3461  rnxp 3468  dminxp 3479

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-br 2616  df-opab 2663  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182

Copyright terms: Public domain