MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  co02 Unicode version

Theorem co02 5138
Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
co02  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem co02
StepHypRef Expression
1 relco 5123 . 2  |-  Rel  ( A  o.  (/) )
2 rel0 4763 . 2  |-  Rel  (/)
3 noel 3401 . . . . . . 7  |-  -.  <. x ,  z >.  e.  (/)
4 df-br 3964 . . . . . . 7  |-  ( x
(/) z  <->  <. x ,  z >.  e.  (/) )
53, 4mtbir 292 . . . . . 6  |-  -.  x (/) z
65intnanr 886 . . . . 5  |-  -.  (
x (/) z  /\  z A y )
76nex 1587 . . . 4  |-  -.  E. z ( x (/) z  /\  z A y )
8 vex 2743 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
9 vex 2743 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
108, 9opelco 4806 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  E. z
( x (/) z  /\  z A y ) )
117, 10mtbir 292 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )
12 noel 3401 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
1311, 122false 341 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
141, 2, 13eqrelriiv 4734 1  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3397   <.cop 3584   class class class wbr 3963    o. ccom 4630
This theorem is referenced by:  co01  5139  gsumwmhm  14394  frmdgsum  14411  frmdup1  14413  efginvrel2  14963  0frgp  15015  tngds  18091  evl1fval  19337  dfpo2  23448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3964  df-opab 4018  df-xp 4640  df-rel 4641  df-co 4643
  Copyright terms: Public domain W3C validator