Theorem co02 3500

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
co02	|- (A o. (/)) = (/)

Proof of Theorem co02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 3476	. 2 |- Rel (A o. (/))
2		rel0 3267	. 2 |- Rel (/)
3		noel 2280	. . . . . . 7 |- -. <.x, z>. e. (/)
4		df-br 2615	. . . . . . 7 |- (x(/)z <-> <.x, z>. e. (/))
5	3, 4	mtbir 192	. . . . . 6 |- -. x(/)z
6	5	intnanr 691	. . . . 5 |- -. (x(/)z /\ zAy)
7	6	nex 1099	. . . 4 |- -. E.z(x(/)z /\ zAy)
8		visset 1809	. . . . 5 |- x e. V
9		visset 1809	. . . . 5 |- y e. V
10	8, 9	opelco 3283	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (A o. (/)) <-> E.z(x(/)z /\ zAy))
11	7, 10	mtbir 192	. . 3 |- -. <.x, y>. e. (A o. (/))
12		noel 2280	. . 3 |- -. <.x, y>. e. (/)
13	11, 12	2false 718	. 2 |- (<.x, y>. e. (A o. (/)) <-> <.x, y>. e. (/))
14	1, 2, 13	eqrelriv 3246	1 |- (A o. (/)) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  (/)c0 2276  <.cop 2407   class class class wbr 2614   o. ccom 3169

This theorem is referenced by:  co01 3501

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-co 3182

Copyright terms: Public domain