MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  co02 Unicode version

Theorem co02 5173
Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
co02  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem co02
StepHypRef Expression
1 relco 5158 . 2  |-  Rel  ( A  o.  (/) )
2 rel0 4798 . 2  |-  Rel  (/)
3 noel 3434 . . . . . . 7  |-  -.  <. x ,  z >.  e.  (/)
4 df-br 3998 . . . . . . 7  |-  ( x
(/) z  <->  <. x ,  z >.  e.  (/) )
53, 4mtbir 292 . . . . . 6  |-  -.  x (/) z
65intnanr 886 . . . . 5  |-  -.  (
x (/) z  /\  z A y )
76nex 1587 . . . 4  |-  -.  E. z ( x (/) z  /\  z A y )
8 vex 2766 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
9 vex 2766 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
108, 9opelco 4841 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  E. z
( x (/) z  /\  z A y ) )
117, 10mtbir 292 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )
12 noel 3434 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
1311, 122false 341 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
141, 2, 13eqrelriiv 4769 1  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3430   <.cop 3617   class class class wbr 3997    o. ccom 4665
This theorem is referenced by:  co01  5174  gsumwmhm  14429  frmdgsum  14446  frmdup1  14448  efginvrel2  14998  0frgp  15050  tngds  18126  evl1fval  19372  dfpo2  23483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 3998  df-opab 4052  df-xp 4675  df-rel 4676  df-co 4678
  Copyright terms: Public domain W3C validator