MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coass Unicode version

Theorem coass 5143
Description: Associative law for class composition. Theorem 27 of [Suppes] p. 64. Also Exercise 21 of [Enderton] p. 53. Interestingly, this law holds for any classes whatsoever, not just functions or even relations. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
coass  |-  ( ( A  o.  B )  o.  C )  =  ( A  o.  ( B  o.  C )
)

Proof of Theorem coass
StepHypRef Expression
1 relco 5123 . 2  |-  Rel  (
( A  o.  B
)  o.  C )
2 relco 5123 . 2  |-  Rel  ( A  o.  ( B  o.  C ) )
3 excom 1765 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. w E. z ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
4 anass 633 . . . . 5  |-  ( ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  ( x C z  /\  (
z B w  /\  w A y ) ) )
542exbii 1581 . . . 4  |-  ( E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  E. w E. z ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
63, 5bitr4i 245 . . 3  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
7 vex 2743 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
8 vex 2743 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
97, 8brco 4805 . . . . . 6  |-  ( z ( A  o.  B
) y  <->  E. w
( z B w  /\  w A y ) )
109anbi2i 678 . . . . 5  |-  ( ( x C z  /\  z ( A  o.  B ) y )  <-> 
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
1110exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. z ( x C z  /\  z ( A  o.  B ) y )  <->  E. z
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
12 vex 2743 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1312, 8opelco 4806 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  E. z ( x C z  /\  z
( A  o.  B
) y ) )
14 exdistr 2040 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. z
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
1511, 13, 143bitr4i 270 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  E. z E. w
( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
16 vex 2743 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
1712, 16brco 4805 . . . . . 6  |-  ( x ( B  o.  C
) w  <->  E. z
( x C z  /\  z B w ) )
1817anbi1i 679 . . . . 5  |-  ( ( x ( B  o.  C ) w  /\  w A y )  <->  ( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
1918exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. w ( x ( B  o.  C ) w  /\  w A y )  <->  E. w
( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2012, 8opelco 4806 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C )
)  <->  E. w ( x ( B  o.  C
) w  /\  w A y ) )
21 19.41v 2035 . . . . 5  |-  ( E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  ( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2221exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  E. w
( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2319, 20, 223bitr4i 270 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C )
)  <->  E. w E. z
( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
246, 15, 233bitr4i 270 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C
) ) )
251, 2, 24eqrelriiv 4734 1  |-  ( ( A  o.  B )  o.  C )  =  ( A  o.  ( B  o.  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3584   class class class wbr 3963    o. ccom 4630
This theorem is referenced by:  funcoeqres  5407  fcof1o  5702  tposco  6164  mapen  6958  mapfien  7332  hashfacen  11322  cofuass  13690  setccatid  13843  frmdup3  14415  symggrp  14707  gsumval3  15118  gsumzf1o  15123  gsumzmhm  15137  prds1  15324  psrass1lem  16050  qtophmeo  17435  uniioombllem2  18865  cncombf  18940  pf1mpf  19362  pf1ind  19365  pjsdi2i  22662  pjadj2coi  22709  pj3lem1  22711  pj3i  22713  derangenlem  23039  subfacp1lem5  23052  erdsze2lem2  23072  relexpsucl  23365  relexpadd  23372  pprodcnveq  23764  hmeogrpi  24868  cmpmorass  25298  cocnv  25725  diophrw  26170  eldioph2  26173  f1omvdco2  26723  symggen  26743  psgnunilem1  26748  mendrng  26832  ltrncoidN  29447  trlcoabs2N  30041  trlcoat  30042  trlcone  30047  cdlemg46  30054  cdlemg47  30055  ltrnco4  30058  tgrpgrplem  30068  tendoplass  30102  cdlemi2  30138  cdlemk2  30151  cdlemk4  30153  cdlemk8  30157  cdlemk45  30266  cdlemk54  30277  cdlemk55a  30278  erngdvlem3  30309  erngdvlem3-rN  30317  tendocnv  30341  dvhvaddass  30417  dvhlveclem  30428  cdlemn8  30524  dihopelvalcpre  30568  dih1dimatlem0  30648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3964  df-opab 4018  df-xp 4640  df-rel 4641  df-co 4643
  Copyright terms: Public domain W3C validator