MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coass Unicode version

Theorem coass 5178
Description: Associative law for class composition. Theorem 27 of [Suppes] p. 64. Also Exercise 21 of [Enderton] p. 53. Interestingly, this law holds for any classes whatsoever, not just functions or even relations. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
coass  |-  ( ( A  o.  B )  o.  C )  =  ( A  o.  ( B  o.  C )
)

Proof of Theorem coass
StepHypRef Expression
1 relco 5158 . 2  |-  Rel  (
( A  o.  B
)  o.  C )
2 relco 5158 . 2  |-  Rel  ( A  o.  ( B  o.  C ) )
3 excom 1765 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. w E. z ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
4 anass 633 . . . . 5  |-  ( ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  ( x C z  /\  (
z B w  /\  w A y ) ) )
542exbii 1581 . . . 4  |-  ( E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  E. w E. z ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
63, 5bitr4i 245 . . 3  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
7 vex 2766 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
8 vex 2766 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
97, 8brco 4840 . . . . . 6  |-  ( z ( A  o.  B
) y  <->  E. w
( z B w  /\  w A y ) )
109anbi2i 678 . . . . 5  |-  ( ( x C z  /\  z ( A  o.  B ) y )  <-> 
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
1110exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. z ( x C z  /\  z ( A  o.  B ) y )  <->  E. z
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
12 vex 2766 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1312, 8opelco 4841 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  E. z ( x C z  /\  z
( A  o.  B
) y ) )
14 exdistr 2040 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. z
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
1511, 13, 143bitr4i 270 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  E. z E. w
( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
16 vex 2766 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
1712, 16brco 4840 . . . . . 6  |-  ( x ( B  o.  C
) w  <->  E. z
( x C z  /\  z B w ) )
1817anbi1i 679 . . . . 5  |-  ( ( x ( B  o.  C ) w  /\  w A y )  <->  ( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
1918exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. w ( x ( B  o.  C ) w  /\  w A y )  <->  E. w
( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2012, 8opelco 4841 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C )
)  <->  E. w ( x ( B  o.  C
) w  /\  w A y ) )
21 19.41v 2035 . . . . 5  |-  ( E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  ( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2221exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  E. w
( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2319, 20, 223bitr4i 270 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C )
)  <->  E. w E. z
( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
246, 15, 233bitr4i 270 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C
) ) )
251, 2, 24eqrelriiv 4769 1  |-  ( ( A  o.  B )  o.  C )  =  ( A  o.  ( B  o.  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3617   class class class wbr 3997    o. ccom 4665
This theorem is referenced by:  funcoeqres  5442  fcof1o  5737  tposco  6199  mapen  6993  mapfien  7367  hashfacen  11357  cofuass  13725  setccatid  13878  frmdup3  14450  symggrp  14742  gsumval3  15153  gsumzf1o  15158  gsumzmhm  15172  prds1  15359  psrass1lem  16085  qtophmeo  17470  uniioombllem2  18900  cncombf  18975  pf1mpf  19397  pf1ind  19400  pjsdi2i  22697  pjadj2coi  22744  pj3lem1  22746  pj3i  22748  derangenlem  23074  subfacp1lem5  23087  erdsze2lem2  23107  relexpsucl  23400  relexpadd  23407  pprodcnveq  23799  hmeogrpi  24903  cmpmorass  25333  cocnv  25760  diophrw  26205  eldioph2  26208  f1omvdco2  26758  symggen  26778  psgnunilem1  26783  mendrng  26867  ltrncoidN  29484  trlcoabs2N  30078  trlcoat  30079  trlcone  30084  cdlemg46  30091  cdlemg47  30092  ltrnco4  30095  tgrpgrplem  30105  tendoplass  30139  cdlemi2  30175  cdlemk2  30188  cdlemk4  30190  cdlemk8  30194  cdlemk45  30303  cdlemk54  30314  cdlemk55a  30315  erngdvlem3  30346  erngdvlem3-rN  30354  tendocnv  30378  dvhvaddass  30454  dvhlveclem  30465  cdlemn8  30561  dihopelvalcpre  30605  dih1dimatlem0  30685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 3998  df-opab 4052  df-xp 4675  df-rel 4676  df-co 4678
  Copyright terms: Public domain W3C validator