MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coass Unicode version

Theorem coass 5094
Description: Associative law for class composition. Theorem 27 of [Suppes] p. 64. Also Exercise 21 of [Enderton] p. 53. Interestingly, this law holds for any classes whatsoever, not just functions or even relations. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
coass  |-  ( ( A  o.  B )  o.  C )  =  ( A  o.  ( B  o.  C )
)

Proof of Theorem coass
StepHypRef Expression
1 relco 5074 . 2  |-  Rel  (
( A  o.  B
)  o.  C )
2 relco 5074 . 2  |-  Rel  ( A  o.  ( B  o.  C ) )
3 excom 1765 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. w E. z ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
4 anass 633 . . . . 5  |-  ( ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  ( x C z  /\  (
z B w  /\  w A y ) ) )
542exbii 1581 . . . 4  |-  ( E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  E. w E. z ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
63, 5bitr4i 245 . . 3  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
7 vex 2728 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
8 vex 2728 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
97, 8brco 4756 . . . . . 6  |-  ( z ( A  o.  B
) y  <->  E. w
( z B w  /\  w A y ) )
109anbi2i 678 . . . . 5  |-  ( ( x C z  /\  z ( A  o.  B ) y )  <-> 
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
1110exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. z ( x C z  /\  z ( A  o.  B ) y )  <->  E. z
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
12 vex 2728 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1312, 8opelco 4757 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  E. z ( x C z  /\  z
( A  o.  B
) y ) )
14 exdistr 2039 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) )  <->  E. z
( x C z  /\  E. w ( z B w  /\  w A y ) ) )
1511, 13, 143bitr4i 270 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  E. z E. w
( x C z  /\  ( z B w  /\  w A y ) ) )
16 vex 2728 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
1712, 16brco 4756 . . . . . 6  |-  ( x ( B  o.  C
) w  <->  E. z
( x C z  /\  z B w ) )
1817anbi1i 679 . . . . 5  |-  ( ( x ( B  o.  C ) w  /\  w A y )  <->  ( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
1918exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. w ( x ( B  o.  C ) w  /\  w A y )  <->  E. w
( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2012, 8opelco 4757 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C )
)  <->  E. w ( x ( B  o.  C
) w  /\  w A y ) )
21 19.41v 2034 . . . . 5  |-  ( E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  ( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2221exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. w E. z ( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y )  <->  E. w
( E. z ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
2319, 20, 223bitr4i 270 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C )
)  <->  E. w E. z
( ( x C z  /\  z B w )  /\  w A y ) )
246, 15, 233bitr4i 270 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( A  o.  B )  o.  C
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( A  o.  ( B  o.  C
) ) )
251, 2, 24eqrelriiv 4685 1  |-  ( ( A  o.  B )  o.  C )  =  ( A  o.  ( B  o.  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3544   class class class wbr 3917    o. ccom 4581
This theorem is referenced by:  funcoeqres  5358  fcof1o  5652  tposco  6114  mapen  6907  mapfien  7280  hashfacen  11233  cofuass  13569  setccatid  13722  frmdup3  14285  symggrp  14577  gsumval3  14988  gsumzf1o  14993  gsumzmhm  15007  prds1  15194  psrass1lem  15917  qtophmeo  17302  uniioombllem2  18732  cncombf  18807  pf1mpf  19229  pf1ind  19232  pjsdi2i  22496  pjadj2coi  22543  pj3lem1  22545  pj3i  22547  derangenlem  22802  subfacp1lem5  22815  erdsze2lem2  22835  relexpsucl  23128  relexpadd  23135  pprodcnveq  23527  hmeogrpi  24631  cmpmorass  25061  cocnv  25488  diophrw  25933  eldioph2  25936  f1omvdco2  26486  symggen  26506  psgnunilem1  26511  mendrng  26595  ltrncoidN  28944  trlcoabs2N  29538  trlcoat  29539  trlcone  29544  cdlemg46  29551  cdlemg47  29552  ltrnco4  29555  tgrpgrplem  29565  tendoplass  29599  cdlemi2  29635  cdlemk2  29648  cdlemk4  29650  cdlemk8  29654  cdlemk45  29763  cdlemk54  29774  cdlemk55a  29775  erngdvlem3  29806  erngdvlem3-rN  29814  tendocnv  29838  dvhvaddass  29914  dvhlveclem  29925  cdlemn8  30021  dihopelvalcpre  30065  dih1dimatlem0  30145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4035  ax-nul 4043  ax-pr 4105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2511  df-rex 2512  df-rab 2514  df-v 2727  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3086  df-nul 3360  df-if 3468  df-sn 3547  df-pr 3548  df-op 3550  df-br 3918  df-opab 3972  df-xp 4591  df-rel 4592  df-co 4594
  Copyright terms: Public domain W3C validator