Theorem cocnvcnv1 3505

Description: A composition is not affected by a double converse of its first argument.

Assertion

Ref	Expression
cocnvcnv1	|- (`'`'A o. B) = (A o. B)

Proof of Theorem cocnvcnv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnv2 3487	. . 3 |- `'`'A = (A |` V)
2	1	coeq1i 3283	. 2 |- (`'`'A o. B) = ((A |` V) o. B)
3		ssv 2081	. . 3 |- ran B (_ V
4		cores 3499	. . 3 |- (ran B (_ V -> ((A |` V) o. B) = (A o. B))
5	3, 4	ax-mp 7	. 2 |- ((A |` V) o. B) = (A o. B)
6	2, 5	eqtr 1495	1 |- (`'`'A o. B) = (A o. B)

Syntax hints:   = wceq 956  Vcvv 1811   (_ wss 2047  `'ccnv 3169  ran crn 3171   |` cres 3172   o. ccom 3174

This theorem is referenced by:  cofunex2g 3581

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190

Copyright terms: Public domain